《高等数学》课程教学资源：第十章 习题课一

曲线积分彐题课

曲线积分 习题课

主要内容 曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 性质 计算公式

一、主要内容 曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 性质 计算公式 两者关系

曲线积分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定义m)m Pdx+ody ∫(5;,;) λ→>0i1 limP(si, ni)4x,+2(5i, ni) →0i=1 实质分、粗、和、精 分、粗、和、精 背景曲线形构件的质量变力沿曲线作功 性质线性、可加、无方向可加、有方向 计算一代、二换、三定限一代、二换、三定限 联系JPh+=J(P0a+Qcsb

曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精 背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功 性质 线性、可加、无方向 可加、有方向 计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限 联系 i i i n i L f x y ds f   s  ( , ) ( , ) 0 1  lim → = = [ ( , ) ( , ) ] 0 1 lim i i i i i n i i L P x Q y Pdx Qdy        = + +   → =   + = + L L Pdx Qdy (Pcos Qcos  )ds

与路径无关的四个等价命题 在单连通开区域D上P(x,y),Q(x,y)具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立 (1)在D内,Px+Q与路径无关 (2)Px+g小=0,闭曲线CcD 命(3)在D内存在U(x,y)使dm=Pax+h (4)在D内, OP 00 ay ax

与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域D上P(x, y),Q(x, y)具 有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.  + L (1) 在D内 Pdx Qdy与路径无关  + =  C (2) Pdx Qdy 0,闭曲线C D (3) 在D内存在U(x, y)使du = Pdx + Qdy x Q y P D   =   (4) 在 内, 等 价 命 题

(二)各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Stokes公式 计算 计算 曲面积分 重积分 GuaS公式

（二）各种积分之间的联系 曲线积分 定积分 计算 重积分 计算 曲面积分 Guass公式 计算 Stokes公式

★积分概念的联系 (M=lm∑/(MA0,f(M)点函数 定积分当→R上区间a,b时, f(M)do= f(x)dx. 二重积分当2→R2上区域D时, ∫(M)d=f(x,y)la

积分概念的联系 ( ) lim ( ) , ( )点函数 1 0 f M d f M f M n i   i = →  =    定积分 ( ) ( ) . [ , ] , 1   =  → b a f M d f x dx R a b  当 上区间 时 二重积分 ( ) ( , ) . , 2   =  → D f M d f x y d R D   当 上区域 时

曲线积分当Σ→R2上平面曲线L时, f(M )do=ff(,y)ds 重积分当Σ→R3上区域Ω2时, (MOda=』/(x,y,d 曲线积分当Σ→R3上空间曲线r时, 「(Mndo=∫(x,y) 曲面积分当Σ→R3上曲面S时, f∫(M)dd f(x,y, z)ds

曲线积分 ( ) ( , ) . , 2   =  → L f M d f x y ds R L  当 上平面曲线 时 三重积分    =  →  f M d f x y z dV R ( ) ( , , ) , 3  当 上区域 时 曲线积分 ( ) ( , , ) . , 3   =  →  f M d f x y z ds R  当 上空间曲线 时 曲面积分 ( ) ( , , ) . , 3   =  → S f M d f x y z dS R S  当 上曲面 时

大计算上的联系 ∫f(x)h=∫y(x,)(面元素 y2(x 22(x,y) f∫(x,y,z)dl H(x)1(x,x),(d体元素 f(x,y)=八x,y(x)1+y2dkg线元素曲) f(x,y)dkx=fx,y(x)d,(线元素(投影) L

计算上的联系 ( , ) [ ( , ) ] ,( ) ( ) ( ) 2 1  f x y d =   f x y dy dx d面元素 b a y x y x D ( , , ) ( , , ) ,( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 1 2 1 f x y z dV dx dy f x y z dz dV体元素 b a y x y x z x y    z x y =    = +  b L a f (x, y)ds f[x, y(x)] 1 y dx,(ds ( )) 2 线元素 曲   = b L a f (x, y)dx f[x, y(x)]dx,(dx线元素(投影))

f(x,y, z)ds=fIx, y, z(x,y)11+x+zl dxdj (dS面元素(曲) JR(, ,a)dxdy=[/lx,J,(x,y)ldxdy (d面元素(投影) 其中』Px+gd=(Pc0a+gc)d Pdydz +odzdx+rdxdy (P cos a+ocos B+Rcos n)ds

   = +  +  Dxy x y f x y z dS f x y z x y z z dxdy 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1 (dS面元素(曲))    = Dxy R(x, y,z)dxdy f[x, y,z(x, y)]dxdy (dxdy面元素(投影)) 其中 Pdx Qdy P Q ds L L ( cos cos )   + = + P Q R dS Pdydz Qdzdx Rdxdy ( cos cos  cos )     = + + + +

★理论上的联系 1定积分与不定积分的联系 ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 牛顿-莱布尼茨公式 2二重积分与曲线积分的联系 )do=p pdx+ ody 格林公式

理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系  = − b a f (x)dx F(b) F(a) 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 d Pdx Qdy y P x Q D L   = +   −   ( )  格林公式