《高等数学》课程教学资源：第十章 习题课二

曲面积分习题课

曲面积分 习题课

()曲线积分与曲面积分 对长的 对面积的 由线积分 曲面积分 曲线积分 曲 定∥联计、定‖联计 面 义系算/义系算/积 分 对坐标的 对坐标的 由线积分 曲面积分

曲 线 积 分 曲 面 积 分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 计 算 计 算 联 系 联 系 （一）曲线积分与曲面积分

、主要内容 曲面积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 两者关系 定义 性质 计算公式

一、主要内容 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义 性 质 计算公式 两者关系

曲面积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义=sm地5 实质分、粗、和、精 分、粗、和、精 背景曲面块的质量 流向曲面指定侧的流量 性质线性、可加、与侧无关线性、可加、与侧有关 计算一代、二换、三投影 代、二投、三定号 联系k++=(Pwa++Ry

对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精 背景 曲面块的质量 流向曲面指定侧的流量 性质 线性、可加、与侧无关 线性、可加、与侧有关 计算 一代、二换、三投影 一代、二投、三定号 联系 曲面积分  = → = n i i i i Si f x y z dS f 1 0 ( , , ) lim ( , , )    = → = n i R i i i Si xy R x y z dxdy 1 0 ( , , ) lim ( , , )( )     + + = + +   Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos  Rcos )dS

Green公式, Guass公式, Stokes公式 之间的关系 aP 00 Pdx+ody ax ay dcd或f-gdx+Phy=J ax a A(M为平面向量场 Ads=(roti.k)dxdy 「(4.n)ds=」』 divadxdy 推广 AM为空间向量场 推广 A-ds=l(rotA- n)ds 盯(A,n)=Jf dived Pdx Ody+ Rdz Pdydz +odzdx Rdxdy = OP 80 OR ix ay az R

Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系     −   + = D L dxdy y P x Q Pdx Qdy ( )     +   − + = D L dxdy y Q x P 或 Qdx Pdy ( ) A(M)为平面向量场     =  D L A ds (rotA k)dxdy        = D L A n ds divAdxdy    ( ) 推广 A(M)为空间向量场 推广      A dS = (rotA n)dS             = + + P Q R x y z dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz     A n ds = divAdv    ( ) dv z R y Q x P Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )   +   +   = + +    

(二)各种积分之间的联系 计算 曲线积分 定积分 Gre公式 Stokes公式 计算 计算 曲面积分 重积分 Guas公式

曲线积分 定积分 曲面积分 重积分 计算 计算 计算 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系

关于对称性 对面积的曲面积分与侧无关,具有与三重积 分相类似的奇偶性 你对称,我奇偶 积分曲面对称于坐标面,被积函数关于另一个 变量具有奇偶性 对坐标的曲面积分的对称性比较复杂,一般 不直接使用,可利用两类曲面积分之间的关系 先化为对面积的曲面积分,再使用对称性

关于对称性 对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积 分相类似的奇偶性 你对称，我奇偶 积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个 变量具有奇偶性 对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般 不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系 先化为对面积的曲面积分，再使用对称性

关于对面积的曲面积分的应用 曲面面积A=∫lds 曲面质量M=(x,,s 重心坐标 rods ypd ipdS J pds pds

关于对面积的曲面积分的应用 曲面面积  =  A dS 曲面质量  =  M (x, y,z)dS 重心坐标   =     dS x dS x   =     dS y dS y   =     dS z dS z

转动惯量 I=T(2+22)pdS (x+ipds ∫(x2+y2)os

转动惯量  = +  I x ( y z )dS 2 2  = +  I y (x z )dS 2 2  = +  Iz (x y )dS 2 2

二、典型例题 例1求椭圆柱面+=1位于xoy面上方 59 和平面z=y下方的那部分的侧面积 解一易见曲面对称于y0z面 ds=2 dS 21 个×S =1,x≥0,y≥0,0≤z≤y 9 ∑在y0z面的投影 D:0≤y≤3,0≤z≤y

二、典型例题 例1 求椭圆柱面 1 5 9 2 2 + = x y 位于xoy 面上方 和平面 z = y 下方的那部分的侧面积 解一 易见曲面对称于 yoz 面   = =   1 A dS 2 dS x y z y x y + = 1 ,  0,  0,0   5 9 : 2 2  1  1 在 yoz 面的投影 D : 0  y  3,0  z  y