《高等数学》课程教学资源：第十章 Gauss 公式（10.5）Stokes 公式

Stokes公式 、斯托克斯( stokes)公式 前面所介绍的 Gauss公式是 Green公式的推广 下面我们从另一个角度来推广 Green公式。 Green公式表达了平面闭区域上的二重积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的联系, stokes 公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线 上的曲线积分联系起来

Stokes 公式 一、斯托克斯(stokes)公式 前面所介绍的 Gauss 公式是 Green 公式的推广 下面我们 从另一个角度来推广Green 公式。 Green 公式表达了平面闭区域上的二重积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的联系， stokes 公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线 上的曲线积分联系起来

定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以 为边界的分片光滑的有向曲面,r的正向写 的侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z)在包含曲醇在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 OR 00 aP aR )dydz )dzdx+ a0 aP )dxdy z Pdx +ody+ rdz

定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y,z),Q( x, y,z), R( x, y,z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz

右手法则 ∑ T是有向曲面∑的 正向边界曲线 证明如图 设∑与平行于z轴的直线 ∑x=f(x,y) 相交不多于一点,并∑取 上侧,有向曲线C为∑的正 向边界曲线T在XOy的投 影且所围区域Dxy·x

n    右手法则 是有向曲面 的 正向边界曲线   证明 如图 设Σ与平行于z 轴的直线 相交不多于一点, 并Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的 投 影.且所围区域Dxy . x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n 

思路 曲面积分二重积分曲线积分 aP aP aP P dzdx dixi cos B--cos r )ds dz az 又:cosβ=-f0s",代入上式得 aP oP ap aP +of)cos yds z

思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分 ds y P z P dxdy y P dzdx z P ( cos  cos )   −   =   −        又 cos = − f y cos , 代入上式得f ds z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )cos   +   = −   −      

aP aP oP aP fn)hd小 ∑ ay az aPaP PIx, y,f(x,y) z coP aP dzdx--dxdy z Plx,y,f(x, y)ldxdy

f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )   +   = −   −       即 y f z P y P P x y f x y y    +   =   [ , , ( , )] P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy     = −   −    1

根椐格林公式 PIx,y,f(x, y)ldxdy=PIx, y,f(x, y)ldx 即∫hk aP dxdy=k Plx, y, f(x, y)kx42i ∑Cx 平面有向曲线 aP aP 2a吃h dxdy=AP(x, 3, z a 空间有向曲线

根椐格林公式   =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y x y [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线

同理可证 00 -2小h=x,,3的, ∫的h-d=上R(x,y, aR 80 OP OR x O1 )dzdx + ae_)dx xdy ay az ax ax a ∫Pa+gd+R故有结论成立

同理可证 dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立

便于记忆形式 dydz dzdx dxa小 600 Ox ay az Ptx+Q小y+Rtz P R 另一种形式 cosa cosB cos r 00 d=Px+Q小y+Rz ax y az P 2 R 其中n={cosa,c0sB,c0sy}

便于记忆形式    = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy 另一种形式    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos n = {cos,cos  ,cos }  其中

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式特殊情形「格林公式

Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 斯托克斯公式 特殊情形 格林公式

二、简单的应用 例1计算曲线积分zc+xdy+yh, 其中r是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 解按斯托克斯公式,有 「zdc+xzd+yhk dydz + dzdx dxdy

二、简单的应用 例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  , 其 中是平面 x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 解 0 Dxy x y z n 1 1 1 按斯托克斯公式, 有 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy