南京大学：《计算机问题求解》课程教学资源（课件讲稿）图的基本概念

计算机问题求解-论题3.6 图的基本概念 陶先平 2016年9月29日

计算机问题求解 -论题 3.6 图的基本概念 陶先平 2016年9月29日

Kδnigsberg七桥问题 。问题的抽象： ·用顶点表示对象“地块” ·用边表示对象之间的关系“有桥相连” D 0 B B

Königsberg七桥问题 • 问题的抽象： • 用顶点表示对象-“地块” • 用边表示对象之间的关系-“有桥相连” C D A B A C B D

“巧渡河”问题 ·问题：人、狼、羊、菜用一条只能同时载两位的小船渡河，“狼羊”、 “羊菜”不能在无人在场时共处，当然只有人能架船。 ·图模型：顶点表示“原岸的状态”，两点之间有边当且仅当一次合理 的渡河“操作”能够实现该状态的转变。 ·起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。 ·问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路

“巧渡河”问题 • 问题：人、狼、羊、菜用一条只能同时载两位的小船渡河，“狼羊”、 “羊菜”不能在无人在场时共处，当然只有人能架船。 • 图模型：顶点表示“原岸的状态”，两点之间有边当且仅当一次合理 的渡河“操作”能够实现该状态的转变。 • 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。 • 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的尽可能短的通路

“巧渡河”问题的解 ·注意：在“人狼羊菜”的16种组合种允许出现 的只有10种。 人羊狼菜人狼菜人羊狼人羊菜人羊 ● 狼菜 狼 菜 羊 空（成功）

“巧渡河”问题的解 • 注意：在“人狼羊菜”的16种组合种允许出现 的只有10种。 空(成功 ) 人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 狼菜 狼 菜 人羊 羊

考试时间编排问题 ·问题：排考试时间，一方面要总时间尽可能短（假设教室没问题），另 一方面一个同学所选的任意两门课不能同时间。 ·图模型：每门课程对应一个顶点。任意两点相邻当且仅当对应的两门 课程有相同的选课人。 ·解：用不同颜色给顶点着色。相邻的点不能同颜色。则最少着色数即 至少需要的考试时间段数（可以将颜色相同的点所对应的课程安排在 同一时间)

考试时间编排问题 • 问题：排考试时间，一方面要总时间尽可能短(假设教室没问题)，另 一方面一个同学所选的任意两门课不能同时间。 • 图模型：每门课程对应一个顶点。任意两点相邻当且仅当对应的两门 课程有相同的选课人。 • 解：用不同颜色给顶点着色。相邻的点不能同颜色。则最少着色数即 至少需要的考试时间段数(可以将颜色相同的点所对应的课程安排在 同一时间)

如何定义图这个数学概念？ What we have drawn in Figure 1.1 is called a graph.Formally,a graph G consists of a finite nonempty set V of objects called vertices(the singular is vertex)and a set E of 2- element subsets of V called edges.The sets V and E are the vertex set and edge set of G, G=V,E) 如果要定 E={u,v}u,v∈Vy 义有向图？

如何定义图这个数学概念？ G  (V ,E ) E  {{u,v}| u,v  V } 如果要定 义有向图？

有向图和无向图之间的本质区别是什么？ D Figure 1.37:Digraphs 无向图是有向图的特殊类，简化表达为无向图

有向图和无向图之间的本质区别是什么？ 无向图是有向图的特殊类，简化表达为无向图

如何用图进行问题建模？ ·构造图节点 ·确定什么作为图节点？ ·构造图中的边 ·确定什么作为图中的边？ ·用图中数学语言重述待解问题 ·从自然语言到形式（数学）语言

如何用图进行问题建模？ • 构造图节点 • 确定什么作为图节点？ • 构造图中的边 • 确定什么作为图中的边？ • 用图中数学语言重述待解问题 • 从自然语言到形式（数学）语言

Theorem 1.6 If a graph G contains a u-v walk of length l,then G contains a u-l path of length at most I. Proof.Among all u-v walks in G,let P=(u=0,1,,k= 图中定 be a u-vwalk of smallest length k.Therefore,k s I.We claim that P is a u-v path. Assume,to the contrary,that this is not the case.Then some vertex of Gmust be repeated 理的证 in P,sayu=;for some iandjwithik.If we then delete the verticesu 明，多 from P,we arrive at the u-vwalk 用如此 的构造 (=0,41,,41-1,4=j,4j+1,…,4= 法 whose length is less than k,which is impossible.Therefore,as claimed,P is a uvpath of lengthk≤l. ■

图中定 理的证 明，多 用如此 的构造 法

图的连通性和牢固程度是图结构的重要特性 Theorem 1.10 Let G be a graph of order 3 or more.Then G is connected if and only if G contains two distinct vertices u and y such that G-u and G-y are connected. 这个定理给了你什么直观感觉？

图的连通性和牢固程度是图结构的重要特性 这个定理给了你什么直观感觉？