南京大学：《计算机问题求解》课程教学资源（课件讲稿）矩阵计算

计算机问题求解一论题3-14 矩阵计算 2016年12月14日

计算机问题求解 – 论题3-14 - 矩阵计算 2016年12月14日

矩阵的逆与线性方程组的解 ax1+a2x2+…+a1nxn=b a2xazx2+..+a2nxn b2 all 012 din d21 d22 d2n b2 ... anl (n2 ann or,equivalently,letting A (ai),x =(xi),and b =(bi),as Ax =b. If A is nonsingular,it possesses an inverse A-,and

矩阵的逆与线性方程组的解

逆矩阵存在的条件 A square matrix has full rank if and only if it is nonsingular. A matrix A has full column rank if and only if it does not have a null vector. A square matrix A is singular if and only if it has a null vector. An n x n matrix A is singular if and only if det(A)=0. 这是什么意思？

逆矩阵存在的条件 这是什么意思？

问题2： 如何计算非奇异矩阵的逆？ 1:矩阵A的逆=A的伴随矩阵/行列式A的值 2:矩阵A的逆：对(AE)进行行初等变换得到(EA1)

1：矩阵A的逆=A的伴随矩阵/行列式A的值 2：矩阵A的逆：对(A|E)进行行初等变换得到(E|A-1 )

2 2 1 例：求3阶方阵A= 31 5 的逆矩阵。 323 解：|A|=1,M1=-7,M2=-6,M1g=3, M21=4,M2=3,M23=-2, M31=9,M2=7,M3=-4, 则 A A2 A31 An A A23 M -Ma M -7 4 -M2 Mn -M2 三 3 -7 -M3 M3 3 2 -4

123 例1设A=221,求A1. 343 123 10 0 解( AE)=22 1 0 10 3430 01 2 1 2 3 1 00 i+2 -2 -5-210 r3-3r0 -2 -6 -301 3-2

问题3： 为什么通常不直接用求 逆矩阵的办法来解线性 方程组？

高斯消元法 过程中可能 1 0 F1 出现的现象！ 2 1 X 三 3 3 4 [5 问题4： 2 1 一 2 1 0 1 4 Y= 3 三角阵会给解 0 3 线性方程组带 来什么便利？

             5 3 1 3 4 1 2 1 0 1 0 0 X               6 3 1 0 0 3 0 1 4 2 1 2 X 高斯消元法 过程中可能 出现的现象！

问题5： 三角阵确实会极大简化方程求解，但是 多数情况下，我们不会遇到三角阵。 Ax=b 怎么办？

怎么办？

问题⑥： Ax=b ↓ 你能否借助右边 PAx=Pb 的图解释一下用 PA=LU→ ↓ LUP分解方法解 LUx=Pb 线性方程组的基 0 Ly= Pb 本思想？这个方 ↓ 法的关健在哪里？ Ux=y