北京化工大学：《微积分》课程授课教案（PPT课件）建模思想融入专题——连续函数性质与椅子放稳问题

数学模型 连续函数与椅子放稳问题 1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常~三只脚着地 放稳、四只脚着地 。四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形； 型 ·地面高度连续变化，可视为数学上的连续 设 曲面； ·地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地

连续函数与椅子放稳问题 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模 型 假 设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地

数学模型 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 ·椅子位置 利用正方形（椅脚连线）的对称性 用对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 ·四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 两个距离 (四只脚) 正方形 对称性 A,C两脚与地面距离之和~爪0 正方形ABCD B,D两脚与地面距离之和~g(O 绕0点旋转

模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 x B A D C O C ´ D´ B ´ 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 A ´ • 四只脚着地 距离是的函数 四个距离 (四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g() 两个距离  椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形 对称性

数学模型 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 G几0，g(0是连续函数 椅子在任意位置 对任意0，f0,8(0 至少三只脚着地 至少一个为0 数学 己知：f0,g(0是连续函数； 问题 对任意0,0·(0=0； 且g(0)=0,0)>0. 证明：存在0，使孔)=g()=0

用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 数学 问题 已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0 ) = g(0 ) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地

数学模型 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转90，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0,f0)>0,知fπ/2)=0，g(π/2)>0. 令h(0=f0)-g(0,则h(0)>0和h(π/2)<0. 由￡g的连续性知为连续函数，据连续函数的基本性 质，必存在a,使h(0)=0,即f)=g(). 因为f0·g(0=0,所以f)=g()=0. 评注和思考 建模的关键~和f0,g(0的确定 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子

模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在0 , 使h(0 )=0, 即f(0 ) = g(0 ) . 因为f() • g()=0, 所以f(0 ) = g(0 ) = 0. 评注和思考 建模的关键 ~ 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 和 f(), g()的确定