北京化工大学：《微积分》课程授课教案（PPT课件）建模思想融入专题——人口模型

致学模型 如何预报人口的增长 背景 世界人口增长概况 年 1625183019301960197419871999 人口（亿） 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 190819331953196419821990 19952000 人口（亿） 3.04.7 6.07.210.3 11.3 12.013.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长

背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 如何预报人口的增长

数学模型 常用的计算公式 今年人口xo,年增长率r k年后人口 x=x。(1+r) 指数增长模型 马尔萨斯提出(1798) 基本假设：人口（相对）增长率r是常数 x()~时刻的人口 x(t+△t)-x(t) rAt x(t) dx dt =x,x(O)=x0x(t)=x,e” x(t)=x(e)'≈x(1+r) 随着时间增加，人口按指数规律无限增长

指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 k k x x (1 r) = 0 + x(t) ~时刻t的人口 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 r t x t x t t x t =  +  − ( ) ( ) ( ) 今年人口 x0 , 年增长率 r k年后人口 0 rx, x(0) x dt dx = = rt x t x e0 ( ) = r t x(t) x (e ) = 0 t x (1 r)  0 + 随着时间增加，人口按指数规律无限增长

数学模型 指数增长模型的应用及局限性 ·与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 ·适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 ·可用于短期人口增长预测 ·不符合19世纪后多数地区人口增长规律 ·不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率不是常数（逐渐下降）

指数增长模型的应用及局限性 • 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)

数学模型 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大)是x的减函数 假设 r(x)=r-x(r,S>O)固有增长率x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） 之 →r(Xm)=0→S= r(x)=r(1-x m m

阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r(x) = r − sx (r,s  0) r~固有增长率(x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） ( ) (1 ) m x x r x = r − r是x的减函数 xm r r(xm ) = 0 s =

数学模致 阻滞增长模型(Logistic模型) dx dx dt =r(x)x=rx(1-x) dt dxldt /2 0 Xo 七m/2 Xmx 0 x(t)= Xm x()S形曲线， 1+( 2一1 e-m x增加先快后慢

rx dt dx = ( ) (1 ) m x x r x x rx dt dx = = − dx/dt x 0 xm/2 xm xm x t x x x e m m rt ( ) ( ) = + − − 1 1 0 t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 阻滞增长模型(Logistic模型)

数学模型 阻滞增长模型(Logistic模型) 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数r或)xm •利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万) 1860 18701880 1960 1970 1980 1990 31.438.6 50.2 179.3204.0226.5 251.4 10.2557,xm=392.1 专家估计

参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm • 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4 专家估计 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2557, xm=392.1

数学模型 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 x(2000)=x(1990)+△x=x(1990)+x(1990)[1-x(1990)/xm] x(2000)=274.5 实际为281.4（百万） 模型应用—预报美国2010年的人▣ 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 ，1=0.2490,xm=434.0G x(2010)=306.0 Logistic模型在经济领域中的应用（如耐用消费品的售量）

模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较 (2000) (1990) (1990) (1990)[1 (1990)/ ] m x = x + x = x + rx − x x 5 实际为281.4 (百万) x(2000) = 274. 模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 阻滞增长模型(Logistic模型) r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0