北京化工大学：《微积分》课程授课教案（PPT课件）经济专题——差分方程 第三节 二阶常系数线性差分方程

第三节二阶常系数线性差分方程 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结 经济数学 微积分

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第三节二阶常系数线性差分方程 三、小结

1.定义 形如yx+2+y+1+yx=f(x) (其中a,b≠0均为常数，f(x)为已知函数) 的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程. f(x)≠0时称为非齐次的，否则称为齐次的. yx+2+四x+1+yx=0称为相应的齐次方程. 2.解的结构定理二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解即yx=+y 经济数学 微积分

1.定义 ( ) 形如yx2  ayx1  byx  f x (其中 a, b  0均为常数， f ( x)为已知函数 ) 的差分方程，称为二阶 常系数线性差分方程． f ( x)  0时称为非齐次的，否则 称为齐次的． y x  2  ay x 1  by x  0称为相应的齐次方程． 2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个 特解.即 .  x  x  x y y y

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Y=2(2≠0)为对应齐次方程一个解，代入得 2+2+a2+1+b2=0 即22+a2+b=0 此方程称为对应齐次方程的特征方程，其根 2,=-+va2-4 ,,=--v24 2 2 称为相应方程的特征根 现根据a2-4b的符号来确定其通解形式。 经济数学 微积分

一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 设Yx   x (  0)为对应齐次方程一个解 ，代入得 0 2 1    x x x  a b 0 2 即  a  b  此方程称为对应齐次方 程的特征方程 ,其根 2 4 , 2 4 2 2 2 1 a a b  a  a  b        称为相应方程的特征根 . 4 . 现根据a 2  b的符号来确定其通解形 式

(第一种情形a2>4b时 有两个相异的实特征根入，与2，此时的通解具有 如下形式： .=A1乙+A,22(A1,A,为任意常数) (2)第二种情形a2=4b时 方程有两个相等的实特征根元=2，=一子 此时 的通解具有如下形式： 刀=(A,+A,x(-2(A,4,为任意常数) 经济数学 微积分

如下形式： 有两个相异的实特征根 1与 2，此时的通解具有 ( , ) y A1 1 A2 2 A1 A2为任意常数 x x x     (2)第二种情形 a 2  4b时 的通解具有如下形式： 方程有两个相等的实特 征根 ，此时 2 1 2 a      ) ( , ) 2 ( )( 1 2 A1 A2为任意常数 a y A A x x x    (1)第一种情形 a 2  4b时

3)第三种情形a2<4b时 方程有一对共轭的复特 征根， =-aiv4b-a=atib 1 元=-24-i0-0=a-0 把它们化为三角表示式： r=va'+B2=Vb, tang=B--V46-a 则a=rcos0,B=rsin8 经济数学 微积分

(3)第三种情形 a 2  4b时 方程有一对共轭的复特 征根,       a i b a i a i b a i             2 2 2 1 4 2 1 4 2 1 把它们化为三角表示式 ： a b a r b 2 2 2 4 , tan             则  r cos ,   rsin

∴.λ1=r(cos0+isin0),22=r(cos0-isin0) =r*(cos0+isine) y.2=元，=r*(cos0-isin8) 都是对应齐次方程的特解.可以证明 2.+及0."-) 也都是特解.故可得具有以下形式的通解： =r*(A cos Ox+A,sin ex) (A1,A,是任意常数 ) 经济数学 微积分

(cos sin ), (cos sin ) 1  r   i  2  r   i  (cos sin ) (cos sin ) 2 (2) 1 (1)       y r i y r i x x x x x x        都是对应齐次方程的特解．可以证明 ( ) 2 1 ( ) 2 1 (1) (2) (1) (2) x x x x y y i y  y 及  也都是特解．故可得具 有以下形式的通解： ( , ) ( cos sin ) 1 2 1 2 A A 是任意常数 y r A x A x x x    

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 二阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一个特解y, 另一项是对应的齐次差分方程的通解Y· 即差分方程(2)的通解为yx=Y.+y: 经济数学 微积分

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 . x x Y y 另一项是对应的齐次差 分方程的通解 一项是该方程的一个特 解 ， 的和组成： 二阶常系数非齐次线性 差分方程的通解由两项  2 .  x  x  x 即差分方程（ ）的通解为y Y y

(1)f(x)=c(c为常数)，即方程为 yx+2+ayst+byx=c 可设其特解形式为y=cs. i)当1++b≠0时，取s=0,即y=k,代入原方程得 k= 1+a+b ∴.所求特解y= 1+a+b 经济数学 微积分

(1) f (x)  c(c为常数),即方程为 y ay by c x2  x1  x  . s y x  kx 可设其特解形式为  i)当1 a  b  0时，取s  0，即y  x  k,代入原方程得 a b c k    1 a b c y x      1 所求特解

i)当+M+b=0且M≠-2时，取s=1,即y=c, 代入原方程得 k= 2+M cx 此时有特解y= 2+m i)当1+a+b=0且a=-2时，取s=2,即y*=x2, 此时有特解 2 经济数学 微积分

a c k   2 a cx y x     2 此时有特解 iii)当1  a  b  0且a  2时，取s  2，即y  x  kx 2 ， 2 2 1 yx  cx  ii)当1 a  b  0且a  2时,取s  1,即y  x  kx， 代入原方程得 此时有特解

例1求差分方程 yx+2+y+1-2yx=12的通解及。=0，y1=0 的特解。 22+九-2=0 解 即(2+2)(2-1)=0 解得21=-2,22=1 .x=A1(-2)*+A2 .1++b=1+1-2=0,但M=1≠-2， 12x 1+2 =4x 经济数学 微积分

解 2 0 2      即(  2)( 1)  0 2, 1 解得1   2  1 2 y A ( 2) A x  x    1 a  b  1 1 2  0,但a  1  2, x x yx 4 1 2 12     