北京化工大学：《微积分》课程教学资源（试卷习题）09-10期中试题（下）

09-10高数（下）期中试卷 一、填空 1. 已知二元函数f(x,y)=y,则f(fx,y》= -子 2. 函数z=ln(x-y)+ 的定义域为 x-y>0 -x2-y y≥0 1-x2-y2>0 {(x,y川y<xy≥0，x2+y2<1} 机动目录上页下页返回结束

一、填空 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. ( , ) , ( , ( , )) x f x y xy f f x y y 已知二元函数 = = 则 2 ( , ( , )) ( , ) x x x f f x y f x y xy x y y y = = = 2 2 2. ln( ) 1 y z x y x y = − + − − 函数 的定义域为 2 2 {( , ) | , 0, 1} x y y x y x y   +  09-10高数（下）期中试卷 2 2 0 0 1 0 x y y x y  −       − − 

3.求极限lim 1-cos(xy) (x,y)→(0,2)xsin(x) 1-cos(xy) y)2 lim lim 2 lim y=1 (x.)(0.2)xsin(xy) (xy)→(0,2)x:(xy） (x,y)→(0,2)2 4.设二元函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则 f(a+x,b)-f(a-x,b) x->0 X f(a+x,b)-f(a-x,b) x0 x =limlf(a+x.B)-f(a.b+f(a-x.b)-f(a,b) x-0 2f(a,b) 机动目 下页返回结

机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) (0,2) 1 cos( ) 3. lim sin( ) x y xy → x xy − 求极限 = 2 ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) 1 ( ) 1 cos( ) 2 lim lim sin( ) ( ) x y x y xy xy → → x xy x xy − =  4. ( , ) ( , ) 设二元函数f x y a b 在点 处的偏导数存在，则 0 ( , ) ( , ) lim x f a x b f a x b → x + − − = 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) lim[ ] x x f a x b f a x b x f a x b f a b f a x b f a b x x → → + − − + − − − = + − ( , ) (0,2) 1 lim 1 x y 2 y → = = 1 = 2 ( , ) f a b 

5.设u=x”,则du= Bx 19 1 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. z y 设u x du = = ,则 1 2 1 , ln ( ), ln z z z u z u z u y y y x x x x x x y y z y y −    = = − =    1 2 1 ln ln z z z y y y z z du x dx x xdy x xdz y y y − = − +

6.设函数z=f(xy,x),f(u,)具有二阶连续偏导， 则 Ox 会*： 8三=+80y++2你 ax =xf州+f'+2x2f8 机动目录 下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 6. ( , ), ( , ) z f xy x f u v z x y =  =   设函数 具有二阶连续偏导， 则 1 2 2 z f y f x x  = +    2 11 12 1 21 0 2 z f xy f y f xf x x y  = + + +       2 11 1 12 = + + xyf f x f    2

7.设z=w,而 y e"-cosv Oz 8z Ou 8z 0v Ou Ov =V +u- Oy Ou 8y av dy y Ov Bu COSV 0=e" Du a e"(sinv-cosv) d Ov e 1=e sin v By by e"(sinv-cosv) a -vCOSv ue" u y e" Slny-cosv） 机动 目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin 7. , cos u u x e v z uv y e v y  = +  = =  = −   设z ,而 则 z z u z v u v v u y u y v y y y        = + = +        0 cos 1 sin u u u v e v y y u v e v y y    = +         = +    cos (sin cos ) (sin cos ) u u u u v y e v v v e y e v v  − =  −  =  − cos (sin cos ) u u z u v v v ue v u y y y e v v    − + = + =    −

8.曲线 x+y-Z=0 在点(1,1,2)处的切线方程为 x2+y2+z2=6 d dz =0 dz V- 1+ =0 dx z+y (1,1,2) x+ dy 2x+2y +2 dz =0 dx dx Z+y dx (1,1,2) 切向量为1，-1,0) 切线方程x-1=y-1-2 1-1 0 机动 返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 0 8. (1,1, 2) 6 x y z x y z  + − =   + + = 曲线 在点 处的切线方程为 1 0 2 2 2 0 dy dz dx dx dy dz x y z dx dx  + − =    + + =  切向量为(1, 1,0) − dz y x dx z y dy x z dx z y  − =   +  +  = −  + 1 1 2 1 1 0 x y z − − − = = − 切线方程 (1,1,2) (1,1,2) 0 1 dz dx dy dx  =    = − 

9.曲面z=e-2y在点2,1,1)处的切平面方程为 F=2-ex-2y F=-e-2y,F,=2e-2,F=1 (2,1,1)点的法向量为-1,2,1) 切平面方程为(x-2)+2y-1)+(2-1)=0 即x-2y-2=-1 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 9. (2,1,1) x y z e − 曲面 = 在点 处的切平面方程为 x y 2 F z e − = − (2,1,1)点的法向量为( 1, 2,1) − 2 2 , 2 , 1 x y x y F e F e F x y z − − = − = = 切平面方程为-( 2) 2( 1) ( 1) 0 x y z − + − + − = 即x y z − − = − 2 1

10. 使函数=5--2y在双-子-子处的方向 导数取得最大值的方向 方向导数取最大值的方向为梯度的方向 =-2x, 62 Ex 在处器 3 =3, 色=4 4 8a(-2-子-或+4 机动目 页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 3 10. 5 2 ( , 1 ) 2 = − − − − x y 3 使函数z 在点 ， 处的方向 4 导数取得最大值的方向 2 , 4 z z x y x y   = − = −   3 3 ( , 1, ) 3, 4, 2 4 z z x y   − − = =   在点 处 3 3 ( , 1 3 4 2 4 gradz i j − − = + ，） 方向导数取最大值的方向为梯度的方向

11.z=x2+y在点1,2)处沿着从点(1,2)到点 (2,2+√3)的方向导数为 la2 =2, Oy 的方向余弦为 的方向导数为 0 -cosa+ O c0sB=1+2万 8y 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 11. (1, 2) z = + x y 在点 处沿着从点(1,2)到点 (2,2+ 3)的方向导数为 2 , 2 z z x y x y   = =   (1,2) (1,2) 2, 4, z z x y   = =   1 3 , ) 2 2 l的方向余弦为（ cos cos 1 2 3 z z z l l x y      = + = +    的方向导数为

12.函数f(x,y)=2x2+ax+2+2y在点(1，-1)处取得 极值，则常数a= g-a*y0 可=2y+2=0 将1，-1)代入得a=-5 13. 交换重积分的限序c,边 原式=fxd+fb 机动

机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 12. ( , ) 2 2 (1, 1) f x y x ax xy y a = + + + − = 函数 在点 处取得 极值，则常数 2 4 0, 2 2 0 f f x a y xy x y   = + + = = + =   将(1, 1) 5 − = − 代入得a 2 1 2 0 13. ( , ) y y dx f x y dy − = 交换二重积分的顺序  2 2 1 2 2 0 0 1 0 ( , ) ( , ) x x dx f x y dy dx f x y dy − = + 原式    