天津师范大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲义）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 Elementary Reductions of Matrices and Systems of Linear Equations

冷同济三版《线性代数》 Linear Algebra Edited by iateX §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 第三章矩阵的初等变换与线性方 线性方程组的解 程组 §4初等矩阵 本章总结 Chapter li elementary reductions of Matrices and Systems of Linear Equations 主讲张少强 主讲人:张少强 44P sqzhang@mail.tinu.edu.cn 第1页共41页 计算机与信息工程学院 全屏显示 天津师范大学

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 1 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ  Ó▲♥❻✺❶✺➇ê✻Linear Algebra Edited by LATEX ✶♥Ù Ý✡✛Ð✤❈❺❺❶✺➄ ➜⑤ Chapter III Elementary Reductions of Matrices and Systems of Linear Equations ❒ù❁➭Ü ✟ r sqzhang@mail.tjnu.edu.cn 计算机与信息工程学院 天津师范大学

§1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 线性方程的解 初等矩阵 本章主要内容f介 本章总结 1.通过消元法( Gauss’ Method)解线性方程组来引进矩阵的初 主讲:张少 等变换。 标题页 2.利用矩阵的“秩ˆ来讨论线性方程组的解的情况 44 3.最后介绍单位矩阵经初等变换得到初等矩阵” 第2页共41页 全屏显示

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✢Ù❒❻❙◆④✵ 1. Ï▲➒✄④↔Gauss✳Method↕✮❶✺➄➜⑤✺Ú❄Ý✡✛Ð ✤❈❺✧ 2. ⑤❫Ý✡✛“➑”✺❄Ø❶✺➄➜⑤✛✮✛➐➵✧ 3. ⑩￾✵☛ü➔Ý✡➨Ð✤❈❺✚✔“Ð✤Ý✡

1$1矩阵的初等变换 上章提到线性方程组的一般形式 §1矩阵的初等吏换 §2矩阵的 111+a12℃2+… 3线性方程组的解 a211+a2X2+…+a2nxn=b2, §4初等矩阵 amI1+am2C2+.+amnOn= bm 主讲:张少 b1 标题页 系数矩阵A=(a1),未知数向量x= 常数项向量b 增 44 72 b1 第3页共41页 广矩阵B=(A|b) 若常数项向量b=O,则 全屏显示 aml am2 称为齐次线性方程组,否则为非齐次线性方程组

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 1 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ þÙ❏✔❶✺➄➜⑤✛➌❸✴➟    a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm, ❳êÝ✡A = (aij), ➍⑧ê➉þx =   x1 x2 . . . xn  , ⑦ê➅➉þb =   b1 b2 . . . bm  , ❖ ✷Ý✡B = (A|b) =   a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn bm  . ❡⑦ê➅➉þb = O, ❑ →➃à❣❶✺➄➜⑤,➘❑➃➎à❣❶✺➄➜⑤

下面我们讨论矩阵的初等变换它在解线性方程组,求矩阵的逆等理论中 有重要的应用.为了引进矩阵的初等变换,先来分析用消元法(又叫高斯 §1矩阵的初等吏换 §2矩阵的秋 法)解线性方程组的例子 3线性方程组的解 引例求线性方程组的解 §4初等矩阵 本章总结 4 2.① +x2-2 +x4=4 主讲:张少 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③ +6 9x3+74=9,④ 标题页 44 解 x1+x2-2x3+x4=4,① +C 第4页共41页 2.③ (B1) 3x1+6x2-9x3+7x4=9, 全屏显示

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❡→➲❶❄ØÝ✡✛Ð✤❈❺, ➜✸✮❶✺➄➜⑤, ➛Ý✡✛❴✤♥Ø➙ ❦➢❻✛❆❫. ➃✡Ú❄Ý✡✛Ð✤❈❺, ❦✺➞Û❫➒✄④(q✗♣❞ ④)✮❶✺➄➜⑤✛⑦❢. Ú⑦ ➛❶✺➄➜⑤✛✮    2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ✖ x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✗ 4 x1 −6 x2 +2 x3 −2 x4 = 4, ✘ 3 x1 +6 x2 −9 x3 +7 x4 = 9, ✙ (1) ✮ (1) ✖↔✗ ✘÷2 −→    x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ 2 x1 − x2 − x3 + x4 = 2, ✗ 2 x1 −3 x2 + x3 − x4 = 2, ✘ 3 x1 +6 x2 −9 x3 +7 x4 = 9, ✙ (B1)

1+x2-2x3+T4 4 ④-3① 2x2-2x3+2x4 5x2+5 3 -6.③ 3 3x3+4 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 33线性方程组的解 ③+5② x1+x2-2x3+x4 4.① §4初等矩阵 ④-3② 3+x4 本章总结 6.③ (B3) 主讲:张少 消去③和④的π2的时,碰巧把r3也消去了 标题页 +x4 4.① ④-2③ 3+e 0,② 3,③ (B4) 0 第5页共41页 此时④是恒等式,若不是恒等式就说明方程组无解 (B4)是4个未知量3个有效方程的方程组,肯定有个自由未知变量,“回代”的 全屏显示 方法求解:将③x4=-3代入②得x2=3+3,将x4=-3,x2=x3+3代入 ①,得x1=x3+4

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✗−✘ ✘−2✗ ✙−3✖ −→    x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ 2 x2 −2 x3 +2 x4 = 0, ✗ −5 x2 +5 x3 −3 x4 = −6, ✘ 3 x2 −3 x3 +4 x4 = −3, ✙ (B2) ✗× 1 2 ✘+5✗ ✙−3✗ −→    x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ x2 − x3 + x4 = 0, ✗ 2 x4 = −6, ✘ x4 = −3, ✙ (B3) ➒✖✘Ú✙✛x2✛➒,✲⑤rx3➃➒✖✡. ✘↔✙ ✙−2✘ −→    x1 + x2 −2 x3 + x4 = 4, ✖ x2 − x3 + x4 = 0, ✗ x4 = −3, ✘ 0 = 0, ✙ (B4) ❞➒✙➫ð✤➟, ❡Ø➫ð✤➟Ò❵➨➄➜⑤➹✮. (B4)➫4❻➍⑧þ3❻❦✟➄➜✛➄➜⑤, ➆➼❦❻❣❞➍⑧❈þ, “↔➇”✛ ➄④➛✮: ò✘x4 = −3➇❭✗✚x2 = x3 + 3,òx4 = −3, x2 = x3 + 3➇❭ ✖, ✚x1 = x3 + 4

+4 =T3+3 3 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 x3可取任析值,可令x3=c,c为任意常数,方程组的解可记为 33线性方程组的解 初等矩阵 C+4 4 +3 3 C 从上面的引例可以看出解线性方程组用到三种变换: 44 (i)交换方程次序;⑦→⑦ (i)以不等于0的数求以某的方程;⑦xk 第6页共41页 (i)一个方程加上另一个方程的k倍.⑦+k④ 上述三种变换是可逆的,因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的, 全屏显示 这三种变换是方程组的同解变换.所以解(2)是方程组(1)的全解

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ    x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 x4 = −3 x3➀✒❄Û❾,➀✲x3 = c, c➃❄➾⑦ê, ➄➜⑤✛✮➀P➃ x =   x1 x2 x3 x4   =   c + 4 c + 3 c −3   = c   1 1 1 0   +   4 3 0 −3   , (2) ❧þ→✛Ú⑦➀➧✇Ñ✮❶✺➄➜⑤❫✔♥➠❈❺: (i) ✂❺➄➜❣❙; i ↔ j (ii) ➧Ø✤✉0✛ê➛➧✱✛➄➜; i × k (iii) ➌❻➄➜❭þ✱➌❻➄➜✛k✕. i + k j þã♥➠❈❺➫➀❴✛, Ï❞❈❺❝✛➄➜⑤❺❈❺￾✛➄➜⑤➫Ó✮✛, ù♥➠❈❺➫➄➜⑤✛Ó✮❈❺. ↕➧✮(2)➫➄➜⑤(1)✛✜✮

实际上,在变换的过程中,只有方程组的系数和常数进行运算,而与未知 量π无关.上述的同解变換是对增广矩阵B=(Ab)的变换.是把(A|b)= 2-1-112 11-214 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的秋 4-62-24 变换成 01-110 33线性方程组的解 0001-3 §4初等矩阵 本章总结 36-979 00000 把方程组的三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换. 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换 主讲:张少 (i)对调两行(对调i,j两行记作n+T) 标题页 (i)以数k≠0乘以某一行中所有的元素(第i行乘以k,记作r;×k) 44 (i)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到 第行上,记作r+kr7) 第7页共41页 只要把定义1中的“行”都换成“列,把r都换成c,即得矩阵的初等列变换的 定义 全屏显示 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➣❙þ, ✸❈❺✛▲➜➙, ➄❦➄➜⑤✛❳êÚ⑦ê❄✶✩➂, ✌❺➍⑧ þ  x➹✬.þã✛Ó✮❈❺➫é❖✷Ý✡B = (A|b)✛❈❺. ➫r(A|b) =  2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9   ❈❺↕   1 1 −2 1 4 0 1 −1 1 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0   r➄➜⑤✛♥➠Ó✮❈❺↔❻✔Ý✡þ,Ò✚✔Ý✡✛♥➠Ð✤❈❺. ➼➶1 ❡→♥➠❈❺→➃Ý✡✛Ð✤✶❈❺: (i) é◆ü✶(é◆i, jü✶,P❾ri ↔ rj); (ii) ➧êk 6= 0 ➛➧✱➌✶➙↕❦✛✄❷(✶i✶➛➧k, P❾ri × k); (iii) r✱➌✶↕❦✄❷✛k✕❭✔✱➌✶é❆✛✄❷þ✖(✶j✶✛k✕❭✔ ✶i✶þ, P❾ri + krj). ➄❻r➼➶1➙✛“✶”Ñ❺↕“✎”, rrÑ❺↕c, ❂✚Ý✡✛Ð✤✎❈❺✛ ➼➶. Ý✡✛Ð✤✶❈❺ÚÐ✤✎❈❺Ú→Ý✡✛Ð✤❈❺

三种初等变换是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:逆变换π r的逆变换还是n口T;变换r1×k的逆变换是r1×k;变换;+kr的逆变 换为r;+(-k)r 定义若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A和矩阵B等价, §1矩阵的初等变换 作A~B 线性方程组的解 矩阵之间的等价关系具有下列性质(任何等价关系都具有下面三个性质 §4初等矩阵 本章总结 1.反身性A~A; 2.对称性A~B→B~A 主讲:张少 3.传递性A~B,B~C=→A~C 所有与A等价的矩阵组成一个集合,称为一个等价类 44 看课本P74,由引例知增广矩阵B经一系列初等行变换能变换成B4 2 第8页共41页 14 B 011-1 0001-3 B 4-62-24 全屏显示 00000 化简到B4的这种由0组成台阶的形式称为行阶梯形矩阵

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥➠Ð✤❈❺➫➀❴✛, ❹Ù❴❈❺➫Ó➌❛✳✛Ð✤❈❺: ❴❈❺ri ↔ rj✛❴❈❺❸➫ri ↔ rj ; ❈❺ri × k✛❴❈❺➫ri × 1 k ; ❈❺ri + krj✛❴❈ ❺➃ri + (−k)rj . ➼➶ ❡Ý✡A➨▲❦⑩❣Ð✤❈❺❈↕Ý✡B, Ò→Ý✡AÚÝ✡B✤❞, P❾A ∼ B. Ý✡❷♠✛✤❞✬❳ä❦❡✎✺➓(❄Û✤❞✬❳Ñä❦❡→♥❻✺➓): 1. ❻✜✺A ∼ A; 2. é→✺A ∼ B =⇒ B ∼ A 3. ❉✹✺A ∼ B, B ∼ C =⇒ A ∼ C ↕❦❺A✤❞✛Ý✡⑤↕➌❻✽Ü,→➃➌❻✤❞❛. ✇➅✢P.74, ❞Ú⑦⑧❖✷Ý✡B➨➌❳✎Ð✤✶❈❺❯❈❺↕B4. B =   2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9   f   1 1 −2 1 4 0 e1 −1 1 0 0 0 0 e1 −3 0 0 0 0 0   = B4 ③④✔B4✛ù➠❞0⑤↕✑✣✛✴➟→➃✶✣❋✴Ý✡

0-104 B 011-100 B 00011-3 00000 §1矩阵的初等变换 行阶梯矩阵B;还称为行最简形矩阵,其特点:非零行的第一个元素为1,且 §2矩阵的秋 3线性方程组的解 这些元1所在的列的其他元素都为0 §4初等矩阵 B对应方程组 本章总结 4 3 4 标题页 取x3为次由未知量,令x3=c得解 44 +4 C+3 1 第9页共41页 C 由和例可知,要解们性方程组只须将增广矩阵经初等行变换化成行最简形 全屏显示 矩阵.不难证明,任析矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯 形矩阵和行最简形矩阵

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ B4 r1−r2 r2−r3 g   1 0 −1 0 4 0 e1 −1 0 0 0 0 0 e1 −3 0 0 0 0 0   = B5 ✶✣❋Ý✡B5❸→➃✶⑩④✴Ý✡, Ù❆✿: ➎✧✶✛✶➌❻✄❷➃1, ❹ ù✡✄1↕✸✛✎✛Ù➛✄❷Ñ➃0. B5é❆➄➜⑤    x1 − x3 = 4 x2 − x3 = 3 x4 = −3 ✒x3➃❣❞➍⑧þ, ✲x3 = c✚✮ x =   x1 x2 x3 x4   =   c + 4 c + 3 c −3   = c   1 1 1 0   +   4 3 0 −3   , (2) ❞Ú⑦➀⑧, ❻✮❶✺➄➜⑤➄▲ò❖✷Ý✡➨Ð✤✶❈❺③↕✶⑩④✴ Ý✡. Ø❏②➨,❄ÛÝ✡♦➀➧➨▲❦⑩❣Ð✤✶❈❺r➜❈↕✶✣❋ ✴Ý✡Ú✶⑩④✴Ý✡

由行最简形矩阵可以写出方程组的解,同样由方程组的解也可以写出行最 简形矩阵,由此可以断定一个矩些的行最简形是唯一的.进而行阶梯矩阵 中非零行的行数也是唯一确定的 对于行最简形矩阵再进行初等列变换,可变成形状更简单的矩阵,例如 §1矩阵的初等变换 100 00 §2矩阵的秋 10-104 C3 33线性方程组的解 01000 §4初等矩阵 01-100 B. 本章总结 0001-3 001 00 00000 000 00 主讲:张少强 矩阵F称为矩阵B的标准形,其特点是:F的左上角是个单位矩阵,其余元 标题页 素全为0 44 对于矩阵Amxn,总可以经过初等变换(行变换和列变换)把它化成标准形 第10页共41页 E O F 00 全屏显示 此标准形完全由m,η和r三个数决定的.r就是行阶梯形矩阵中非零行的数 目,在下一节就会介绍这个就是矩阵A的秩 标准形B是A所在等价类中形状最简单的矩阵

天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞✶⑩④✴Ý✡➀➧✕Ñ➄➜⑤✛✮, Ó✘❞➄➜⑤✛✮➃➀➧✕Ñ✶⑩ ④✴Ý✡, ❞❞➀➧ä➼➌❻Ý✡✛✶⑩④✴➫➁➌✛. ❄✌✶✣❋Ý✡ ➙➎✧✶✛✶ê➃➫➁➌✭➼✛. é✉✶⑩④✴Ý✡✷❄✶Ð✤✎❈❺, ➀❈↕✴●➁④ü✛Ý✡, ⑦❳: B5 =   1 0 −1 0 4 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0   c3↔c4 c4+c1+c2 c5−4c1−3c2+3c ^ 3   1 0 0 | 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 0 0 − − − + − − 0 0 0 | 0 0   = F Ý✡F→➃Ý✡B✛■❖✴, Ù❆✿➫: F✛❺þ✍➫❻ü➔Ý✡, Ù④✄ ❷✜➃0. é✉Ý✡Am×n, ♦➀➧➨▲Ð✤❈❺(✶❈❺Ú✎❈❺)r➜③↕■❖✴ F =  Er O O O  ❞■❖✴✑✜❞m, n Úr♥❻êû➼✛. rÒ➫✶✣❋✴Ý✡➙➎✧✶✛ê ✽, ✸❡➌✦Ò➡✵☛ù❻rÒ➫Ý✡A✛➑. ■❖✴B➫A↕✸✤❞❛➙✴●⑩④ü✛Ý✡