北京大学：《医学统计学》课程教学资源（PPT课件）第七章 线性回归分析

线性回归分析 公共卫生学院

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前言 ●回归分析的目的 设法找出变量间的依存(数量)关系,用函数关系 式表达出来

一 . 前言 ⚫回归分析的目的: 设法找出变量间的依存(数量)关系, 用函数关系 式表达出来

二、基本概念 应变量( dependent variable) 2、自变量( independent variable) 3、一元线性回归 直线回归方程的模型是:y=a+bx;+e 其中 (1)a是截距 (2)b是回归系数( regression coefficient)(回归直线的 斜率) 回归系数的统计学意义是:自变量每变化一个单位, 应变量平变化的单位数 (3)e;是残差

二、基本概念 1、应变量（dependent variable) 2、自变量（independent variable） 3、一元线性回归 直线回归方程的模型是：yi=a+bxi+ei 其中 （１）a是截距 （２）b是回归系数(regression coefficient)（回归直线的 斜率） 回归系数的统计学意义是：自变量每变化一个单位， 应变量平均变化的单位数． （３）ei是残差

因此直线回归方程的一般形式是: °其中y是应变量y的预测值或称估计值

因此直线回归方程的一般形式是： • 其中 是应变量y的预测值或称估计值。 ^ i y ^ y a bx i i = +

4、多元线性回归 多元线性回归方程模型为 yi=bo+b,X1i+b2X2i +.. +bnxnitei 其中 (1)b是常数项,是各自变量都等于0时,应变量的估计值。 有时,人们称它为本底值。 (2)b1,b2,…,bn是偏回归系数( pertial regression coefficient,其统计学意义是在其它所宥自变量不变 的情况 自变量每变化一个单位,应变量平均 雯花的单位数 如果所有参加分析的变量都是标准化的变量,这时b 就等子0,b1,"b2,…,bm就变成了标准化偏回归系 数,用符号b1,62,…,b;表示。 b: bits: s 由于b:没有量纲,因此可以相互比较大小,反映自变 量的柏对作用大小 3)e;是残差

4、多元线性回归 多元线性回归方程模型为： yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bnxni+ei 其中 (1) b0是常数项，是各自变量都等于0时，应变量的估计值。 有时，人们称它为本底值。 (2) b1，b2，…，bn是偏回归系数( pertial regression coefficient )，其统计学意义是在其它所有自变量不变 的情况下，某一自变量每变化一个单位，应变量平均 变化的单位数。 如果所有参加分析的变量都是标准化的变量，这时b0 就等于0， b1，b2，…，bn 就变成了标准化偏回归系 数，用符号b1 ‘ ，b2 ’ ，…，bn ‘表示。 bi ’= bi*sxi/sy 由于bi ’没有量纲，因此可以相互比较大小，反映自变 量的相对作用大小。 (3) ei是残差

多元线性回归方程的一般形式是: Vi=bo+bx+b2x2i+...+bx 其中的符号含义同前

多元线性回归方程的一般形式是： 其中的符号含义同前。 ^ i 0 1 1 2 2 i i n ni y b b x b x b x = + + +  +

、理论假设 自变量x与应变量y之间存在线性关系 正态性:随机误差(即残差)e服从均值为0, 方差为∝2的正态分布; 等方差:对于所有的自变量x,残差e的条件方 差为σ2,且σ为常数; 独立性:在给定自变量x的条件下,残差e的条 件期望值为0(本假设又称零均值假设) 无自相关性:各随机误差项e互不相关;

三、理论假设 • 自变量x与应变量y之间存在线性关系； • 正态性：随机误差（即残差）e服从均值为 0， 方差为２的正态分布； • 等方差：对于所有的自变量x，残差e的条件方 差为２ ，且为常数； • 独立性：在给定自变量x的条件下，残差e的条 件期望值为0（本假设又称零均值假设）； • 无自相关性：各随机误差项e互不相关；

残差e与自变量x不相关:随机误差项e与相 应的自变量x不相关; 无共线性:自变量x之间相互独立

• 残差e与自变量x不相关：随机误差项e与相 应的自变量x不相关； • 无共线性：自变量x之间相互独立．

四、回归方程的建立 散点图 奇异点( outliers) 最小二乘法( least square,LS) 残差平方和( sum of squares for residuals) 元线性回归: Q=∑0-y)2=∑D1-(a+bx) 多元线性回归: Q=∑0-y) ∑2-(b+bx1+b2x2+…+bnx

四、回归方程的建立 • 散点图 • 奇异点（ouliers） • 最小二乘法（least square, LS） • 残差平方和（sum of squares for residuals）     = − = − +  +  +  +  = − = − +    2 0 1 1 2 2 2 2 2 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] i i i n n i i i i Q y y y b b x b x b x Q y y y a b x 多元线性回归： 一元线性回归：

元线性回归时,计算比较简单: b ∑(x )∑x:y-∑x∑y/n ∑(x-x) ∑x2-②∑x)2/n a=y-b.x= ∑y b ∑x 多元线性回归时,比较复杂,一般需要用计算机 处理

一元线性回归时，计算比较简单： 多元线性回归时，比较复杂，一般需要用计算机 处理。 n x b n y a y b x l l x x n x y x y n x x x x y y b xx xy          = −  = −  = −  −  = − −  − = ( ) / / ( ) ( ) ( ) 2 2 2