北京外国语大学：《经济数学 Mathematics in Economics》课程教学资源（课件讲稿，上）第4章 二元函数（多元函数的极值及其求法）

§12-2多元函数的极值及其求法 ☐多元函数的极值和最值

§12-2 多元函数的极值及其求法  多元函数的极值和最值

0、问题的提出 引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子 每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主 估计，如果本地牌子的每瓶卖飞元，外地牌子 的每瓶卖y元，则每天可卖出70-5x+4y瓶 本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益？ 显然每天的收益为f(x,y)= (x-1)70-5x+4y)+(y-1.2)(80+6x-7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值

引例1：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子 每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主 估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子 的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶 本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果 汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大收益？ x y 70 − 5x + 4 y 80 + 6x − 7 y 显然每天的收益为 f (x, y) = (x − 1)(70 − 5x + 4 y) + ( y − 1.2)(80 + 6x − 7 y) 求最大收益即为求二元函数的最大值. 0、问题的提出

引例2：小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买x 个U盘，y个鼠标达到最佳效果，效果函数 为U(x,y)=nx+ny.设每个U盘8元，每 个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到 最佳效果. 问题的实质：求U(x,y)=lnx+lny在条 件8x+10y=200下的极值点

引例2： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机U盘和鼠标，设他购买 个U盘， 个鼠标达到最佳效果，效果函数 为 ．设每个U盘8元，每 个鼠标10元，问他如何分配这200元以达到 最佳效果． x y U(x, y) = ln x + ln y 问题的实质：求 在条 件 下的极值点． U(x, y) = ln x + ln y 8x + 10 y = 200

两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值， 先讨论与最值有密切联系的极值问题！ 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不 同，多元函数的极值分为两类： 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件.如引例1。 条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件 极值.如引例2。 思考：为什么一元函数的极值没有分类！

无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并 无其他条件. 条件极值：对自变量附加条件的极值问题称为条件 极值. 如引例1。 如引例2。 从上面的两个引例中可以看到，与一元函数极值不 同，多元函数的极值分为两类： 思考：为什么一元函数的极值没有分类！ 两个引例中都是求多元函数的最值！为了求最值， 先讨论与最值有密切联系的极值问题！

多元函数极值的定义 观察二元函数z=一 xy 的图形

观察二元函数 x2 y2 的图形 e xy z + = − 一、 多元函数极值的定义

多元函数极值的定义 二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有 定义，对于该邻域内异于(x,y)的点(x,y):若 满足不等式f(x,y)f(xo,y),则称函数在(xo,yo)有极小 值； 注意：这里要求严格小于

二元函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内有 定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)：若 满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有极小 值； 注意：这里要求严格小于。 多元函数极值的定义

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点

例1函数z=3x2+4y2 在(0,0)处有极小值. (1) 例2函数z=Vx2+y2 在(0,0)处有极小值. 例3函数z=y 在(0,0)处无极值. (3)

(1) (3) 例 1 在 处有极小值． 函数 ( 0 , 0 ) 3 4 2 2 z = x + y 例２在 处有极小值． 函数 ( 0 , 0 ) 2 2 z = x + y 例３在 处无极值． 函数 ( 0 , 0 ) z = xy

二、多元函数取得极值的条件 定理1（必要条件） 函数z=f(x,y)在点(x,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,o)=0,f(x0,0)=0 证：因z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值，故 z=f(x,yo)在x=xo取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值！

定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. f x ′(x0 , y0 ) = 0 , f y ′(x0 , y0 ) = 0 取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 二、多元函数取得极值的条件 该定理说明偏导数存在并且不等于0的点一定不是极值！

注：1)几何意义：极值点处的切平面平行于x0y平面； 2)使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点 注意： 驻点→偏导存在的极值点 如例3， 点(0,0)是函数z=y的唯一驻点， 但不是极值点 如何判定驻点是否为极值点？ (稍后回答)

如例 3， 点(0,0)是函数z = xy的唯一驻点， 但不是极值点. 注：1）几何意义:极值点处的切平面平行于xoy平面； 驻点 偏导存在的极值点 如何判定驻点是否为极值点？（稍后回答） 注意： 2）使一阶偏导数同时为零的点，称为函数的驻点