北京外国语大学：《经济数学 Mathematics in Economics》课程教学资源（课件讲稿，上）第3章 一元函数积分学

第三章一元函数积分学 §3.1不定积分的概念 §3.2不定积分的计算方法 §3.3定积分概念及性质 §3.4积分学基本公式 §3.5定积分的换元积分法与分部积分法 §3.7定积分的应用 上页 返回

1 第三章 一元函数积分学 §3.1 不定积分的概念 §3.2 不定积分的计算方法 §3.3 定积分概念及性质 §3.4 积分学基本公式 § 3.5 定积分的换元积分法与分部积分法 §3.7 定积分的应用

§3.1不定积分的概念 ·3.1.1原函数与不定积分的概念 ·3.1.2不定积分的性质与基本积分公式 上页 回

2 §3.1 不定积分的概念 • 3.1.1原函数与不定积分的概念 • 3.1.2不定积分的性质与基本积分公式

3.1.1原函数与不定积分的概念 定义 设f(x)是区间内的函数，若存在函数F(x), 3.1 使得对Vx∈I,恒有F'(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)k,则称F(x)是f(x) 在区间内的一个原函数。 例 (sinx)=cosx sinx是cosx的原函数. (nx=I(x>0) lnx是在区间(0，+o)内的原函数. X 注：原函数不唯一，但不同的原函数之间只差二个常数. 上贡 返回

3 例 (sin x) = cos x ′ sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = > ′ x x x ln x是 x 1在区间(0,+∞)内的原函数. 3.1.1 原函数与不定积分的概念 定义 3.1 在区间 内的一个原函数。 ，则称 是 使得对 恒有 或 设 是区间 内的函数，若存在函数 I dF x f x dx F x f x x I F x f x f x I F x ( ) ( ) ( ) ( ) , '( ) ( ) ( ) ( ), = ∀ ∈ = 注: 原函数不唯一,但不同的原函数之间只差一个常数

定理3.1若)是f)在区间内的一个原函数， 则集合F(x)+CC为任意常数}是由fx)的原函数 全体构成的集合，其中F(x)+C称为f)的原 函数的一般表达式。 如cosx的原函数的一般表达式为 sinx+C(C为任意常数) 1在(0，+∞)的原函数的一般表达式为 lnx+C(C为任意常数) 返回

4 定理3.1 若 是 在区间 内的一个原函数， 则集合 是由 的原函数 全体构成的集合，其中 称为 的原 函数的一般表达式。 F(x) f (x) I {F(x) +C C为任意常数} F(x) +C f (x) f (x) 如 cos x 的原函数的一般表达式为 sin x +C(C为任意常数) 在 的原函数的一般表达式为 x 1 (0,+∞) ln x +C(C为任意常数)

定义3.2（不定积分的定义) 若(x)是f)在区间I内的一个原函数，则 f(x)的原函数的一般表达式F(x)+C(C为任意常数 称为f(x)在区间I内的不定积分，记为∫f(x)dx 即 ∫sRF(x)+C 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 意常数 注：求不定积分即为求原函数，不定积分和原函数是 计算定积分、 重积分与解微分方程的基础，故很重要 上页 返回

5 任意常数 积分号 被积函数 定义3.2（不定积分的定义） ∫ f (x)dx被积表达式 = F(x) + C 积分变量 称为 f (x)在区间I内的不定积分，记为∫ f (x)dx. 若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) +C (C为任意常数) 即 注：求不定积分即为求原函数，不定积分和原函数是 计算定积分、重积分与解微分方程的基础，故很重要

1*,十2血 解 上页 下页 返回

解 例1 求 . 1 1 2 ∫ + dx x

∫fx)dx=F(x)+C 函数f()的原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积 分曲线，将其沿y轴任意平行移动，可得f(x)的无穷 多条积分曲线F(x)+C,称为f(x)的积分曲线族。 几何意义：一个积分曲线族。 若求通过点(x,y)(称为初始条件)的积分 曲线，由初始条件可确定积分常数C的值。 返回

7 函数 f (x)的原函数 F(x)的图形称为 f (x)的一条积 分曲线,将其沿 y 轴任意平行移动，可得 f (x)的无穷 多条积分曲线 F(x) +C，称为 f (x)的积分曲线族。 几何意义：一个积分曲线族。 若求通过点 （称为初始条件）的积分 曲线，由初始条件可确定积分常数 的值。 f x dx = F x +C ∫ ( ) ( ) ( , ) 0 0 x y C

3.1.2不定积分的性质与基本积分公式 1.基本性质 () Jfx)±g(w)l=fx)d±∫g(x)c: (2) ∫f(x)=kfx)c. (k是常数，k≠O) (3) 4Fe-f可f1=fa (4)∫F'(x)c=Fx)+C,∫dF(x)=F(x)+C 上贡 9返回

8 ∫ (1) [ f (x) ± g(x)]dx = ( ) ( ) ; ∫ ∫ f x dx ± g x dx 3.1.2 不定积分的性质与基本积分公式 ∫ (2) kf (x)dx = ( ) . ∫ k f x dx （k是常数，k ≠ 0) [ f (x)dx] f (x), dx d = ∫ d[ f (x)dx] = f (x) ∫ ∫ F′(x)dx = F(x) ∫ dF(x) = F(x) dx +C, + C （3） （4） 1. 基本性质

结论： 1、微分运算与求不定积分的运算是互逆的； 2、检验积分结果是否正确，可对结果求导，看 是否等于被积函数； 例2求积分 足= 解】 原式= 上页 返回

9 例2 求积分 解 原式＝ ) . 1 3 2 ( 2 2 dx x x ∫ − − 结论： 1、微分运算与求不定积分的运算是互逆的； 2、检验积分结果是否正确，可对结果求导，看 是否等于被积函数；

2.基本积分公式 实例 --c (u≠-1) 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 上页 下页 返回

10 2. 基本积分公式 µ µ µ x x = ′       + + 1 1 . 1 1 C x x dx + µ + ⇒ = µ+ µ ∫ (µ ≠ −1) 实例 启示 能否根据求导公式得出积分公式？