哈尔滨工程大学：《数学建模》课程教学资源（2014全国赛培训课件及资料）盐的存贮——MCM87 A问题

盐的存贮—MCM87A问题 美国中西部一个州把冬天 用来洒在马路上的盐存贮 在一个球顶仓库里大约有 15年了。下图表示在过去 height 50f door clearance 15年中盐是怎么存贮的 19ft gin 通过驾驶铲斗车在由盐铺Mms Salt 成的坡道上进出仓里并利 retaining wall salt ramp 4ft high 用铲斗车上的铲子把盐装 进仓里或从仓里取出来。 103 diameter

盐的存贮 —— MCM87 A问题 ❖ 美国中西部一个州把冬天 用来洒在马路上的盐存贮 在一个球顶仓库里大约有 15年了。下图表示在过去 15年中盐是怎么存贮的。 通过驾驶铲斗车在由盐铺 成的坡道上进出仓里并利 用铲斗车上的铲子把盐装 进仓里或从仓里取出来

令最近,一个小组确定这种做法是不安全的。如果 铲斗车太靠近盐堆的顶端,盐就要滑动,而铲斗 车就要翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。小组建 议,如果盐堆是用铲斗车堆起来的,那么盐堆的 最高高度不要超过15英尺 令对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中的 盐堆的最大高度 50f door clearance Salt 如x分 103nt diameler

❖ 最近，一个小组确定这种做法是不安全的。如果 铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐就要滑动，而铲斗 车就要翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。小组建 议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的，那么盐堆的 最高高度不要超过15英尺。 ❖ 对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中的 盐堆的最大高度

图中仓高50英尺,拥壁高4英尺,仓的外直径 103英尺,门的净空高19英尺9英寸,铲斗车高 10英尺9英寸。 door dlearance nd radar 103n diamete

❖ 图中仓高50英尺，拥壁高4英尺，仓的外直径 103英尺，门的净空高19英尺9英寸，铲斗车高 10英尺9英寸

盐堆稳定性问题 令在解决这个问题之前,我们先对实际情况作如下 假设 1.4英尺的拥壁可以承受来自贮藏在仓中盐堆的 压力。 令2.盐堆的斜坡可以铺的非常平坦,足以使它能 承受盐堆中盐的压力,即盐的斜面能承受拥壁所 需承受的压力

盐堆稳定性问题 ❖ 在解决这个问题之前，我们先对实际情况作如下 假设 ❖ 1．4英尺的拥壁可以承受来自贮藏在仓中盐堆的 压力。 ❖ 2．盐堆的斜坡可以铺的非常平坦，足以使它能 承受盐堆中盐的压力，即盐的斜面能承受拥壁所 需承受的压力

☆3.盐堆中被拥壁所包围部分可以忽略,因此盐可 以看成堆在无壁的平面上 4.盐堆是同性的,即:盐粒子有相同的大小、形 状、重量、密度、内、外摩擦系数、温度,这些均 与时间无关 5.盐堆中的盐是均匀堆积的。 6.铲斗车是行驶在连续二维盐堆曲面上 dome

❖ 3．盐堆中被拥壁所包围部分可以忽略，因此盐可 以看成堆在无壁的平面上。 ❖ 4．盐堆是同性的，即：盐粒子有相同的大小、形 状、重量、密度、内、外摩擦系数、温度，这些均 与时间无关。 ❖ 5．盐堆中的盐是均匀堆积的。 ❖ 6．铲斗车是行驶在连续二维盐堆曲面上

令7.铲斗车的加速度对盐堆无影响 8.盐堆表面可视为一斜面。 9.盐与土壤有如下类似性质 (1)在受力状态下的性质与土壤类似 (2)产生裂缝的情况与土壤类似。 (3)支撑物体的方式与土壤类似 (4)压塑性与土壤类似 door clearance front and ladar 103tt dameter

❖ 7．铲斗车的加速度对盐堆无影响。 ❖ 8．盐堆表面可视为一斜面。 ❖ 9．盐与土壤有如下类似性质： （1）在受力状态下的性质与土壤类似。 （2）产生裂缝的情况与土壤类似。 （3）支撑物体的方式与土壤类似。 （4）压塑性与土壤类似

10.内摩擦系数趋向无限大(即内部无相对 运动)。 11.内摩擦系数为有限数(即内部运动或断 裂是可能的)

❖ 10．内摩擦系数趋向无限大（即内部无相对 运动）。 ❖ 11．内摩擦系数为有限数（即内部运动或断 裂是可能的）

模型I 令在假设盐堆内有无限大摩擦系数,盐堆表面可 视为刚体斜平面,由质点动力学做受力图,其 中β为能支撑铲斗车的盐堆的最大倾面,或叫 作临界角 mgsmBFrsNu mqc。f (a)斜面图 (b)自由受力图 图2模型1的古典物理解释

模型Ⅰ ❖ 在假设盐堆内有无限大摩擦系数，盐堆表面可 视为刚体斜平面，由质点动力学做受力图，其 中β为能支撑铲斗车的盐堆的最大倾面，或叫 作临界角。 （a）斜面图 （b）自由受力图 图 2 模型 1 的古典物理解释

mg sin B=usmg cos B an B=Ls, B=arctan us h=tgB=us 103 627,则盐堆高=h+2=20627+4=363英尺 door clearance 50f mgsm,Nu. 19ft 9in Salt mg cosF 4ft high 103 diameter (a)斜面图 (b)自由受力图 图2模型1的古典物理解释

mg sin  = smg cos  tan  = s，  = arctan s s d tg d h   2 2 = = 若 s = 0.627，则盐堆高 0627 4 36.3 2 103 = h + 4 =  + = 英尺 （a）斜面图 （b）自由受力图 图 2 模型 1 的古典物理解释

模型工 假设内摩擦系数为有限数 即内部运动或断裂时可能的。通常岩石和土壤遵循库仑剪切 破裂准,则表示破裂面上的剪应力: T=C+otg (1) 其中C称为粘聚力,φ称为内摩擦角,σ是破裂面上的正应力。 当一个面上的剪应力满足上式时,将发生剪切滑动 由于盐的粘聚力为零,所以(1)变为 otg (2)

模型Ⅱ 假设 内摩擦系数为有限数 即内部运动或断裂时可能的。通常岩石和土壤遵 循库仑剪切 破裂准，则表示破裂面上的剪应力：  = C +tg （1） 其中 C 称为粘聚力，φ称为内摩擦角，σ是破裂面上的正应力。 当一个面上的剪应力满足上式时，将发生剪切滑动。 由于盐的粘聚力为零，所以（1）变为  = tg （2）