哈尔滨工程大学：《数学建模》课程教学资源（2014全国赛培训课件及资料）什么叫稳定性

什么叫稳定性 金融危机;经济危机; 社会不稳定; 快速行驶的车 单腿站立; 情绪不稳定 投篮不稳

什么叫稳定性 金融危机；经济危机； 社会不稳定； 快速行驶的车； 单腿站立； 情绪不稳定 投篮不稳

稳定性的概念由来已久。早在17世纪就有托 里斯利( Torricelli)原理,即物体仅受重力作 用,当重心位置最低时其平衡是稳定的,反 之是不稳定的。这之后,人们一直探索动力 学上的稳定运动的严格解的选择原理,虽然 拉普拉斯( Laplace)、拉格朗日 ( Lagrange)、庞加莱( Poincare)以及达 朗贝尔( D'Alambert)、茹可夫斯基 ( yKOBCKWV)等都采用过稳定性的概念或 利用一次近似的方法研究稳定性,但长期以 来一直没有对稳定性概念给出精确的数学定 义,也未从数学上证明其合理性

❖ 稳定性的概念由来已久。早在17世纪就有托 里斯利（Torricelli）原理，即物体仅受重力作 用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反 之是不稳定的。这之后，人们一直探索动力 学上的稳定运动的严格解的选择原理，虽然 拉普拉斯（Laplace）、拉格朗日 （Lagrange）、庞加莱（Poincare）以及达 朗贝尔（D’Alambert）、茹可夫斯基 （Жуковский）等都采用过稳定性的概念或 利用一次近似的方法研究稳定性，但长期以 来一直没有对稳定性概念给出精确的数学定 义，也未从数学上证明其合理性

令直到1892年,俄国数学力学家李雅普诺夫 (几 pyHOB)在其博士论文“运动稳定性的 般问题”中才给出了运动稳定性的严格精 确的数学定义及研究的一般方法,从而奠定 了稳定性理论的基础

❖ 直到1892年，俄国数学力学家李雅普诺夫 （Лярунов）在其博士论文“运动稳定性的 一般问题”中才给出了运动稳定性的严格精 确的数学定义及研究的一般方法，从而奠定 了稳定性理论的基础

稳定性的重要性不言而喻。小至一个具体的 控制系统,大至一个社会系统、金融系统、 生态系统,总是在各种偶然的或持续的干扰 下运行的。受到这种干扰后系统能否保持预 定的运行式工作状态,而不致于失控或摇摆 不定,是我们极为关心的问题

❖ 稳定性的重要性不言而喻。小至一个具体的 控制系统，大至一个社会系统、金融系统、 生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰 下运行的。受到这种干扰后系统能否保持预 定的运行式工作状态，而不致于失控或摇摆 不定，是我们极为关心的问题

令目前,李雅普诺夫创立的稳定性理论已得到 广泛的应用,尤其在非线性控制系统的设计 中已广泛地承认了它的重要性。不仅如此, 李雅普诺夫稳定性理论适用的广泛性越来越 大,对稳定性理论感兴趣的研究人员已超出 了数学力学及自动控制等传统的研究及应用 领域

❖ 目前，李雅普诺夫创立的稳定性理论已得到 广泛的应用，尤其在非线性控制系统的设计 中已广泛地承认了它的重要性。不仅如此， 李雅普诺夫稳定性理论适用的广泛性越来越 大，对稳定性理论感兴趣的研究人员已超出 了数学力学及自动控制等传统的研究及应用 领域

考虑用微分方程描述的一般非自治系统: dx d8(,x) (1) 不失一般性,我们只考虑(1)有平凡解x=0,因为若(1)有不平凡解y=q(t), 令 y=x-0(1) 则(5-1)式可化为 dy dx tat-()=8(1,y+g()-8(,9(m)=1(4,y (2) 显然,(2)式有平凡解y=0

考虑用微分方程描述的一般非自治系统： g(t, x) dt dx = （1） 不失一般性，我们只考虑（1）有平凡解 x = 0，因为若（1）有不平凡解 y = (t) ， 令 y = x −(t) 则（5-1）式可化为( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ) , t g t y t g t t f t y dt dx dt dy  = − = + −  = （2） 显然，（2）式有平凡解 y = 0

下边我们考虑(2)式满足初值条件 (t) 的解。 定义5.1.称方程(5-1)的平凡解是稳定的,若 vE>0,Yto∈l,彐6(6.1),当|x<()时,对一切t≥t0,有 x(t,tn,x)<E。 (4) 否则,称(5-1)式的平凡解不稳定

下边我们考虑（2）式满足初值条件 t t 0 0 x t) | = x = ( (3) 的解。 定 义 5.1. 称 方 程 （ 5-1 ） 的 平 凡 解 是 稳 定 的 ， 若 0, , ( , ), 0 0   t I   t 当 ( , ) 0 0 x    t 时，对一切 0 t  t ，有 ( , , )   0 0 x t t x 。 （4） 否则，称（5-1）式的平凡解不稳定

I×R空间 相空间Rn r(t, to 积分曲线

稳定:小扰动引起小误差 不稳定:小扰动引起大误差

❖ 稳定：小扰动引起小误差 ❖ 不稳定：小扰动引起大误差