哈尔滨工程大学：《数学建模》课程教学资源（2014全国赛培训课件及资料）计算方法总结

计算方法 计算方法:数值逼近、数值代数、微分方程数值解 数值逼近 agrange插值逼近—→分段低次插值—三次样条插值 简单了解误差 最小二乘拟合的思想和方法; 数值积分的思想:利用插值多项式替代函数进行近似的积分 梯形公式,辛普森公式,柯特斯公式 复合梯形公式,复合辛普森公式,复合柯特斯公式 数值代数 非线性方程求根:二分法,迭代法,牛顿迭代法; 线性方程组求解: Gauss消去法、主元消去法,列主元消去法; 迭代法: Jacobi迭代,Gaus- Seidel迭代 微分方程数值解 常微分方程数值解Euer格式, Runge-Kuta方法 了解误差的分析方法 偏微分方程数值解:椭圆方程( Laplace, Poisson方程)及抛物方程(热传导或 扩散方程)的差分格式 四.误差分析 (1)计算方法 一元函数Y=F(X)的公式;多元的公式(计算方法书); 四则运算的误差 (2)差分法简介,差分法的误差 (3)插值的误差估计; (4)二分法的误差估计; (5)国际数模竞赛题目:扫雪问题,讲解并提出街道长度减少误差的证明:先 影印放大后测量再缩小: 直接测量:A+e 放大五倍后测量:(5A+e)5

计算方法 计算方法：数值逼近、数值代数、微分方程数值解 一．数值逼近 Lagrange 插值逼近 分段低次插值 三次样条插值； 简单了解误差 最小二乘拟合的思想和方法； 数值积分的思想：利用插值多项式替代函数进行近似的积分 梯形公式，辛普森公式，柯特斯公式； 复合梯形公式，复合辛普森公式，复合柯特斯公式； 二．数值代数 非线性方程求根：二分法，迭代法，牛顿迭代法； 线性方程组求解：Gauss 消去法、主元消去法，列主元消去法； 迭代法：Jacobi 迭代，Gauss-Seidel 迭代； 三．微分方程数值解 常微分方程数值解:Euler 格式，Runge-Kutta 方法 了解误差的分析方法 偏微分方程数值解：椭圆方程（Laplace，Poisson 方程）及抛物方程（热传导或 扩散方程）的差分格式 四．误差分析 （1）计算方法 一元函数 Y=F(X)的公式；多元的公式（计算方法书）； 四则运算的误差 （2）差分法简介，差分法的误差； （3）插值的误差估计； （4）二分法的误差估计； （5）国际数模竞赛题目：扫雪问题，讲解并提出街道长度减少误差的证明：先 影印放大后测量再缩小： 直接测量：A+e 放大五倍后测量：(5A+e)/5

其中e为测量误差。 (6)拟合误差:均方误差,标准差 (7)统计型误差:验证E--N(0.a2),E=hx-hx--N(0,a2); 五.稳定性 (1) Lypunov稳定性定义 考虑用微分方程描述的一般非自治系统: d=8(,x) (5-1) 这里仅考虑t∈I=[t0,+∞)x∈Ω2cR"(Ω为开集)。g(t,x)在给定区域l×g2中连 续,以保证(5-1)的解的整体存在性。不失一般性,我们只考虑(5-1)有平凡 解x=0,因为若(5-1)有不平凡解y=o(),令 y=x-0(1) 则(5-1)式可化为 dd-()=g(t,y+0()-g(1,0(O)=f(t,y) (5-2) 显然,(5-2)式有平凡解y=0。 下边我们考虑(5-2)式满足初值条件 x()l1== 的解。 定义5.1.称方程(5-1)的平凡解是稳定的,若VE>0,to∈l,彐o(E,t0,当 xl<o(L0)时,对一切t≥,有 x(,,x)<E。 (5-4) 否则,称(5-1)式的平凡解不稳定

其中 e 为测量误差。 (6) 拟合误差：均方误差，标准差； （7）统计型误差：验证 (0, ), ln ln (0, ) 2 * 2 E − −N  E = x − x − −N  ； 五. 稳定性 （1） Lypunov 稳定性定义 考虑用微分方程描述的一般非自治系统： g(t, x) dt dx = （5-1） 这里仅考虑 n t  I = [t 0 ,+), x   R （  为开集）。 g(t, x) 在给定区域 I  中连 续，以保证（5-1）的解的整体存在性。不失一般性，我们只考虑（5-1）有平凡 解 x = 0 ，因为若（5-1）有不平凡解 y = (t) ，令 y = x −(t) 则（5-1）式可化为 ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( , ) , t g t y t g t t f t y dt dx dt dy  = − = + −  = （5-2） 显然，（5-2）式有平凡解 y = 0。 下边我们考虑（5-2）式满足初值条件 t t0 0 x t) | = x = ( (5-3) 的解。 定义 5.1. 称方程（5-1）的平凡解是稳定的，若 0, , ( , ), 0 0   t I   t 当 ( , ) 0 0 x    t 时，对一切 0 t  t ，有 ( , , )   0 0 x t t x 。 （5-4） 否则，称（5-1）式的平凡解不稳定

ⅠXR空间 相空间R 0 积分曲线 图51稳定性的几何意义 稳定性的通俗理解:小扰动引起小误差 (2)计算方法书中,高斯消元法的稳定性 (3)数值求解线性代数的条件数概念A(X+B)=b+; 4X+AδX=b+;由AX=b得AδX=ob;故δX=Abb;从而 Xx|s|r|6:又s4x:从而x5|4r (4)微分方程数值解的稳定性 dy/dx=ry (r<0) 欧拉显格式及隐格式的稳定性条件

图 5.1 稳定性的几何意义 稳定性的通俗理解：小扰动引起小误差 （2）计算方法书中，高斯消元法的稳定性 （3）数值求解线性代数的条件数概念 A(X + X ) = b + b ； AX A X b b + = +   ； 由 AX b = 得 A X b   = ； 故 1   X A b − = ；从而 1   X A b −   ；又 b A X   ；从而 X b 1 A A X b   −    （4）微分方程数值解的稳定性 dy/dx=ry（r<0） 欧拉显格式及隐格式的稳定性条件