华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第02章 导数与微分 2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

第二章 第四节隐函数及由参数方程 所确定的品激的导数 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题 2009年7月6日星期一 1 目录○ 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 隐函数 及由参数方程 所确定的函数的导数 第二章 三、相关变化率 二、由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 四、小结与思考题

一、 隐函数的导数(Derivative of Implicit Function) 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数. 由y=∫(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=1-x y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数， 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 d F(xy)=0(含导数y'的方程) dx 2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、隐函数的导数 （Derivative of Implicit Function ） 3 = 1 − xy 若由方程 xF y = 0),( 由 x)( 可确定 y 是 x 的函数 , y = f 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 01 3 yx =−− 032 5 7 xxyy =−−+ 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法 : F x y = 0),( 0),( d d yxF = x 两边对 x 求导 (含导数 的方程 y ′ )

例1求由方程y+2y-x-3x7=0确定的隐函数 y=()在x=0处的导教d少 dxx=0 解：方程两边对x求导 05+2y-x-3x)=0 dx 得 5y4dy+2dy-1-21x6=0 dx dx dy_1+21x6 dx 5y4+2 因x=0时y=0,故 dy 1 x=0-2 2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 3 目录 上页 下页 返回 032 5 7 xxyy =−−+ y = y x)( 在 x = 0 处的导数 . d 0 d x x = y 解 : 方程两边对 x 求导 )32( =−−+ d d 5 7 xxyy x 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 − 1 6 − 21 x = 0 25 211 d d 4 6 + + ∴ = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 2 1 d 0 d = x x = y 0 例 1 求由方程 确定的隐函数

例2求椭圆 + 169 =1在点(2，号3)处的切线方程 解：椭圆方程两边对x求导 x.2 8+gx-0 9x 3 yx=2 x=2 16yy=33 4 y=3 这切线方程为)3用 (x-2) 即 √3x+4y-8W3=0 2009年7月6日星期一 4 目录○ 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 4 目录 上页 下页 返回 1 916 22 =+ yx 在点 )3,2( 2 3 处的切线方程. 解 : 椭圆方程两边对 x 求导 8 x ⋅+ yy ′ 9 2 = 0 ∴ y′ 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 −= 2 3 2 3 = = x y 4 3 −= 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 −= x − )2( 即 + yx − = 03843 例 2 求椭圆

例3求y=xnx(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 Iny sinx.Inx 两边对x求导 c0x:xi =xsin(cosx.Inxsinx 2009年7月6日星期一 5 目录○ 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 5 目录 上页 下页 返回 )0( sin xxy >= x 的导数 . 解 : 两边取对数 , 化为隐式 y = ⋅lnsinln xx 两边对 x 求导 y y ′ 1 = ⋅lncos xx x sin x + ) sin lncos( sin x x xxxy x ∴ ′ = +⋅ 例 3 求

说明： 1)对幂指函数y=u”可用对数求导法求导： In y=vInu Ly=YInu+4 u y=u'(vlnu+) 注意： y'=u'lnu.v'+vuu 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 2009年7月6日星期一 6 目录 (上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 6 目录 上页 下页 返回 1) 对幂指函数 v = uy 可用对数求导法求导 : y = lnln uv y y ′ 1 = ′lnuv u ′ vu + )ln( uvu uvuy v ′ ′ = ′ + vuuy v ′ ln ⋅= ′ uuv v ⋅+ ′ − 1 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意 : 说明 :

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 】两边取对数 Iny=xIn#+a[lnb-Inx]+b[Inx-Ina] b 两边对x求导 y=In b x r=(8[g-+ 2009年7月6日星期一 目录 上页 下页 返回

2009年7月6日星期一 7 目录 上页 下页 返回 例如 , ⎟ ≠>> )1,0,0( ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b a ba a x x b b a y bax 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 y y ′ = b a ln x a − x b + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = bax a x x b b a y b a ln x a − x b + + b a x ln − xba ]lnln[ + − axb ]lnln[ 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便

(x-1)(x-2) 又如，y= V(x-3)(x-4) 两边取对数 alw-号 Iny=[inlx-1+nx-21-nx-3-n-41] 对x求导 1'x-2x-3 x-4 y=x-1x-2 1+11,11 x-1x-2x-3 x-4 2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 8 目录 上页 下页 返回 )4)(3( )2)(1( −− − − = xx xx y (ln ) u u u ′ ′ = [ 2 1 ln y = 对 x 求导 [ 2 1 = ′ y y )4)(3( )2)(1( 2 1 −− − − ′ = xx xx y [ ] 4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + − xxxx 两边取对数 − + xx − 2ln1ln − − − xx − 4ln3ln ] + − 1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x ] 4 1 − − x 又如

二、由参数方程所确定的函数的导数 Derivative of Function Determined by Parametric Equation) 若参数方程二08 Iy=v(t) 可确定一个y与x之间的函数 关系，p(t),(t)可导，且[p'(t)]卫+[w(t)]2≠0，则 p⑩(t)≠0时，有 dy_dy,dt_d少y.1_y dx dt dx dt dx o'(t) '(t)≠0时，有 dt dx dx dt dx 1 =p dy dt dy dt dy w"(t) dt (此时看成x是y的函数 2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 9 目录 上页 下页 返回 二、由参数方程所确定的函数的导数 （Derivative of Function Determined by Parametric Equation ） 若参数方程 ⎩ ⎨ ⎧ = = )( )( ty tx ψ ϕ 可确定一个 y 与 x 之间的函数 ϕ t ψ t)(,)( 可导, 且 ,0])([])([ 2 2 ′ + ψϕ ′ tt ≠ () 0 t 则 ϕ′ ≠ 时, 有 d d y x = x t t y d d d d ⋅ t t x y d d 1 d d ⋅= ( ) ( ) t t ψ ϕ ′ = ′ 关系, ( ) ( ) t t ϕ ψ ′ = ′ ψ′() 0 t ≠ 时, 有 d d x y = y t t x d d d d ⋅ t t y x d d 1 d d ⋅= (此时看成 x 是 y 的函数 )

若上述参数方程中0(t),w(t)二阶可导，且p'(t)≠0， 则由它确定的函数y=∫(x)可求二阶导数. x=o(t) 利用新的参数方程 d少_y'(t) ,可得 dx o'(t) 品尝品 dx dx2 w(D)o(t)-w(t)o"(t) p'() p'2(t) =业"(t)p'()-()p"(0_x-3 p'3(t) 3 2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 、返回

2009年7月6日星期一 10 目录 上页 下页 返回 ϕ t ψ t)(,)( 二阶可导, 2 2 d d y x = ) d d ( d d x y x = )( 2 ϕ′ t ψ′′ t ϕ′ t)()( − ψ′ t ϕ′′ t)()( ϕ′( )t )( )()()()( 3 t t t t t ϕ ψ ϕ ψ ϕ ′ ′′ ′ − ′ ′′ = 3 x y x x y  −  = ) d d ( d d x y t = d d x t )( )( d d t t x y ϕ ψ ′ ′ = x = ϕ t)( 且 ϕ′ t ≠ ,0)( 则由它确定的函数 y = f x)( 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 若上述参数方程中