华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第04章 不定积分 4.2 换元积分法（1/2）

复习引入(Introduction)) 在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质” 给出了“基本积分公式表”。 但是，对于形如 ∫2sin2xdx,∫V1-xdx 这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表 我们就无能为力了。 为此，. 2009年7月3日星期五 1 目录○ 、上页》 下页 、返回

2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 复习引入 (Introduction) 在上次课中，我们学习了 “不定积分的概念和性质 ” 给出了 “基本积分公式表 ” 。 但是，对于形如 2sin 2 d ; x x ∫ 2 1 d; − x x ∫ "" 这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表 我们就无能为力了。 为此

第四章 第二节换元积分法(1) (Integration by Substitution) 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 三、小结与思考题 2009年7月3日星期五 2 目录 上页今 下页 返回

2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 第二节 换元积分法(1) 第四章 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法 （Integration by Substitution ） 三、小结与思考题

基本思路 设F'(u)=f(),u=p(x)可导，则有 dFlo(x)]=flo(x)lo'(x)dx ·.∫f[o(x]p'(x)dix=F[p(x]+C=F(+Cu=p(x) =∫f(w)dulu-o JfIo(x]o'(x)dx 第一类换元法 第二类换元法 ∫fw)d 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 第二类换元法 第一类换元法 ϕϕ ′ d)()]([ xxxf ∫ d)( uuf ∫ 设 F′ u = f u ,)()( = ϕ xu )( 可导, ∴ ′ = ∫ ϕϕ d)()]([ xxxf ϕ )]([ +CxF = ∫ d)( uuf =ϕ xu )( )( )( += CuF =ϕ xu F ϕ x)]([d = f ϕ ϕ′ d)()]([ xxx 则有 基本思路

一、第一类换元积分法 定理1设f(u)有原函数，u=p(x)可导，则有换元 公式 ∫fLo(x川p'(xir=∫fo(x)dp(x) =∫fu0duu=p(x) (也称配元法，凑微分法) 2009年7月3日星期五 4 目录○ (上页今 下页 、返回

2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 一、第一类换元积分法 定理 1 设 uf 有原函数,)( = ϕ xu 可导,)( 则有换元 公式 ′ = ∫ ϕϕ d)()]([ xxxf f ( )d ϕ ϕ () () x x ∫ = f ( )d u u ∫ = ϕ xu )( (也称配元法 , 凑微分法 )

例1求[2sin2xdx=-cos2x+C 提示：令u=2x 2*∫2=nl-2c 提示：令u=1-2x 例3（补充题）求「(ax+b)dx(m≠-l) 解：令u=ax+b,则du=adx,故 原式=小wdu=1 a am+7m1+C a(m+1) (ax+b)m++C 2009年7月3日星期五 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 2sin 2 d . x x ∫ 提示：令 u = 2 x 例 1 求 = − + cos 2x C 例 2 求 1 d 1 2 x − x ∫ 提示：令 u =1 2 − x 1 ln |1 2 | 2 = − −+ x C 例3 （补充题） 求 ( )d ( 1 ). m ax b + x m ≠ − ∫ 解 : 令 = + bxau , 则 = xau ,dd 故 原式 = ∫ m u u a d 1 a 1 = Cu m m + + ⋅ + 1 1 1 1 )()1( 1 + + + = m bxa ma + C

例4求∫2xed答案：e+C 创5求∫and和∫cotd 6末利，答案：arctan之+C a a 例7（补充庭）小 dx =(a>0) 年ajo dx d() X arcsin+C a 然（本7）中。 答案： x-a +C 2a x+a 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 2 2 e x x dx 例 ∫ 4 求 答案： 2 e x + C 例 5 求 tan d cot d xx xx ∫ ∫ 和 例 6 求 2 2 d . x a x + ∫ 答案： 1 arctan x C a a + 例 7 （补充题） 求 2 2 d ( 0). x a a x > − ∫ 解 : ∫ − 2)(1 d a x a x ∫ − = 2)(1 )(d a x a x C a x ∫ = arcsin += − 22 d xa x 例 8 （课本 例 7 ） 求 2 2 d . x x − a ∫ 答案： 1 ln 2 x a C a xa − + +

常用的几种配元形式： ()[f(ax+byix=[f(ax+b)d(ax+6) (2)Jffd 万 g)f"d-jf)d 奏幂 法 (4)f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx (5)∫f(cosx))sinxdx=-∫fcos)dcosx 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 =+ ∫ d)()1( xbxaf ∫ + bxaf )( + bxa )(d a 1 = ∫ − xxxf nn d)()2( 1 ∫ )( n xf n d x n 1 = ∫ x x xf n d 1)()3( ∫ )( n xf n d x n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 = ∫ dcos)(sin)4( xxxf ∫ xf )(sin sind x = ∫ dsin)(cos)5( xxxf ∫ − xf )(cos cosd x 常用的几种配元形式:

(6)∫f((tanx)sec2xdr=∫f(tanx)dtanx (7)∫f(e*)e*dx=∫fe*)de 图jfnx)'dr=∫fn)dnx w(米元运*jzun 年：式=1品 1+2nxj+C 2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 = ∫ dsec)(tan)6( xxxf 2 ∫ xf )(tan tand x = ∫ xeef xx d)()7( ∫ )( x ef x d e = ∫ x x xf d 1)(ln)8( ∫ xf )(ln lnd x . )ln21( d ∫ + xx x ∫ + ln21 x lnd x 解 : 原式 = ∫ + = ln212 x 1 + x)ln21(d ln21ln ++= Cx 2 1 例 9（补充题） 求

例0（花摄）求小edr 解：原式=2∫e3dv=3引ed3) 例11（补充题）求∫secxdx 解：原式=(tan2x+1)2 dtanx =(tanx+2tan2x+1)dtanx amx+子anx+anr+C 自学课本 例18~19 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 .d 3 x x e x ∫ 解 : 原式 = xe xd2 3 ∫ )3d( 3 2 3 xe x ∫ = Ce x += 3 3 2 例11（补充题） 求 .dsec6 xx ∫ 解 : 原式 = x xdx 222 ⋅+ sec)1(tan ∫ tand x tand)1tan2(tan xxx 4 2 ∫ ++= x 5 tan 5 1 = x 3 tan 3 2 + + tan x + C 例10（补充题） 求 自学课本 例18 ～19

卫（补克通）冬中 解法1 +2eg =x-In(1+e*)+C 解法2 jej1eJne =-In(1+e *)+C -In(1+e *)=-In[e *(e*+1)] 两法结果一样 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 . 1 d ∫ + x e x 解法 1 ∫ + x e x 1 d x e ee x x x d 1 )1( ∫ + −+ = dx ∫ = ∫ + + − x x e e 1 )1(d = x Cex )1ln( ++− 解法2 ∫ + x e x 1 d x e e x x d 1 ∫ − − + = ∫ − − + + −= x x e e 1 )1(d Ce x ++−= − )1ln( −=+− + )]1(ln[)1ln( − x − xx eee 两法结果一样 例12（补充题） 求