华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第04章 不定积分 4.5 积分表的使用

第四章 第五节积分表的使用 积分计算比导数计算灵活复杂，为提高求积分 的效率，已把常用积分公式汇集成表，以备查用， 见课本附录， 积分表的结构：按被积函数类型排列 积分表的使用：)注意公式的条件 2)注意简单变形的技巧 注：很多不定积分也可通过Mathematica,Maple 等数学软件的符号演算功能求得· 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 积分表的使用 第四章 积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用. 见课本附录. 积分表的结构: 按被积函数类型排列 积分表的使用: 1) 注意公式的条件 2) 注意简单变形的技巧 的效率, 注 : 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得

例1xdr 解：被积函数含有a+bx,在积分表（二）中查得公式(4) Jera的-{gaho创小c 现在a=1,b=1,于是 gd-++a+c 2009年7月3日星期五 2 目录○ 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 例 1 求 2 d ( 1) x x x + ∫ . 解：被积函数含有a bx + ，在积分表（二）中查得公式（ 4 ） ( ) 2 2 1 d l n x a x a bx C a bx b a bx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ +++ + ⎝ ⎠ + ∫ ， 现在 a = 1，b = 1，于是 2 1 d ln 1 ( 1) 1 x x x C x x = + ++ + + ∫

例3 dx 解：这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换 令2x=,那么v4r14=12,x-分dx= du 2 于是 dx du 2 被积函数中含有√2+22，在积分表（六）中查到公式(34) 2009年7月3日星期五 3 目录 (上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 例 2 求 2 d 4 4 x x x + ∫ . 解：这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换 令 2 x = u ，那么 2 22 44 2 x u + = + ， 2 u x = ， d d 2 u x = ， 于是 2 2 2 2 2 1 d d d 2 4 4 2 2 2 u x u u x x u u u = = + + + ∫∫∫ ， 被积函数中含有 2 2 u + 2 ，在积分表（六）中查到公式（34 ）

+C, 现在a=2,x相当于u,于是有 lul 再把u=2x代入，最后得到 4, dx 2|x =+C 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 2 2 2 2 d 1 ln x xaa C xx a a x + + = − + + ∫ ， 现在 a = 2， x 相当于 u ，于是有 2 2 2 2 d 1 22 ln 2 2 || u u C u u u + + = − + + ∫ 再把u x = 2 代入，最后得到 2 2 d 1 2| | ln 4 4 24 4 2 x x C x x x = + + ++ ∫

例3求∫sin4xdx. 解：在积分表（八）中查到公式(50) Jen d n 现在n=4,于是有 md-8 4 对积分sin2xdx,利用公式(48)，得 mdr=i2r+c 从而所求积分为 ∫sin4xdx=-s nxcosx +C 4 4n2 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 例 3 求 4 sin dx x ∫ . 解：在积分表（八）中查到公式（50 ） 1 sin cos 1 2 sin d sin d n n n x xn x x x x n n − − − = − + ∫ ∫ ， 现在 n = 4 ，于是有 3 4 2 sin cos 3 sin d sin d 4 4 x x x x x =− + x ∫ ∫ ， 对积分 2 sin dx x ∫ ，利用公式（48 ），得 2 1 sin d sin 2 2 4 x x x xC = − + ∫ ， 从而所求积分为 3 4 sin cos 3 1 sin d sin 2 4 42 4 xx x x x x C ⎛ ⎞ = − +− + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫

本节小结 一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间， 但只有掌握了前面学习过的基本积分公式才能灵活 地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用 基本积分法来计算比查表更快些，例如 「sin2xcos3xdx,用变换u=sinx很快就可得到结果， 所以求积分时，究竟是直接计算，还是查表，或两者 结合使用，应该具体问题具体分析，从而选择一个更 快捷的方式： 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间， 但只有掌握了前面学习过的基本积分公式才能灵活 地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用 基本积分法来计算比查表更快些， 例 如 2 3 sin cos d x x x ∫ ，用变换u x = sin 很快就可得到结果， 所以求积分时，究竟是直接计算，还是查表，或两者 结合使用，应该具体问题具体分析，从而选择一个更 快捷的方式. 本节小结