华南农业大学：《高等数学》课程电子教案（课件讲稿）第02章 导数与微分 2.5 函数的微分

第二章 第五节蓝数的微分 Function's Differential 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、本章小结与思考题 2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 1 目录 上页 下页 返回 第五节 函数的微分 第二章 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 二、微分的几何意义 一、微分的定义 四、微分在近似计算中的应用 （ Function’s Differential ） 五、本章小结与思考题

一、微分的定义(Definition of Differentials) 引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 边长由xo变到x0+△x,问此薄片面积改变了多少？ 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在xo取 得增量△x时，面积的增量为 AA=(x0+△x)2-x2 △x X0△x =2x0Ax+(△x)2 关于△x的△x→0时为 A=x好 xoAr 线性主部 高阶无穷小 故 △A≈2x0△x 称为函数在xo的微分 2009年7月3日星期五 2 目录○ 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 2 目录 上页 下页 返回 一、微分的定义 引例 : 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 = xA 0 x Δx 面积的增量为 22 0 )( −Δ+=Δ xxxA 2 0 Δ+Δ= xxx )(2 Δxx0 2 0 = xA Δxx0 2 Δx)( 关于△ x 的 线性主部 高阶无穷小 Δx → 0 时为 故 Δ ≈ 2 0 ΔxxA 称为函数在 的微分 0 x 当 x 在 0 x 得增量 x 取 Δ 时, 0 x 变到 , 0 边长由 + Δxx 其 （Definition of Differentials ）

定义若函数y=∫(x)在，点xo的增量可表示为 △y=f(x+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在，点可微，而A△x称为f(x)在 点xo的微分，记作dy或df,即 dy=A△x 定理函数y=∫(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(xo),即 dy=f'(x)△x 2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 3 目录 上页 下页 返回 的微分, y = f x)( 在点 的增量可表示为 0 x )()( 0 0 y =Δ f + Δxx − f x ( A 为不依赖于 △ x 的常数 ) 则称函数 y = f x)( 而 称为 ΔxA xf )( 在 0 点 x 记作 dy 或 f ,d dy Ax 即 = Δ 定理 函数 y = f x)( 在点 可微的 x 0 充要条件 是 = )( 在点 xxfy 0 处可导， ,)( 0 且 A = f ′ x = Δ+ Δ A xox ( ) 即 0 d () y fx x = ′ Δ 在点 0 x 可微 , 定义 若函数

定理函数y=∫(x)在，点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导，且A=f'(xo),即 dy=f'(x)△x 证：“必要性” 已知y=f(x)在，点x可微，则 △y=f(x+△x)-f(xo)=AAx+O(△x) ·04)4 Ax-→0△x△x-→01 故y=f(x)在，点xo的可导，且f'(xo)=A 2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 4 目录 上页 下页 返回 证: “必要性 ” 已知 y = f x)( 在点 可微 x 0 , 则 )()( 0 0 y =Δ f x + Δx − f x ) )( lim (lim 0 0 x xo A x y x x Δ Δ += Δ Δ ∴ →Δ →Δ = A 故 f ′ )( = Ax0 = Δ+ Δ A xox ( ) y = f x)( 在点 的可导, 0 x 且 y = f x)( 在点 可微的 x 0 充要条件 是 y = f x)( 在点 处可导, 0 x 且 ,)( 0 A = f ′ x 即 0 d () y fx x = ′ Δ 定理 函数

定理函数y=∫(x)在点xo可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导，且A=f'(x),即 dy=f'(x)△x “充分性”已知y=f(x)在，点xo的可导，则 1imAy=f(x） △x-→0△x -f,)+a（ma=0） △x 故△y=∫'(x)△x+aAx=f'(x)Ax+o(Ax) 线性主部（f'(xo)≠0时) 即 dy=f'(x)△x 2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 5 目录 上页 下页 返回 y = f x)( 在点 可微的 x 0 充要条件 是 y = f x)( 在点 处可导, 0 x 且 ,)( 0 A = f ′ x 即 0 d () y fx x = ′ Δ “充分性 ” 已知 lim )( 0 0 xf x y x = ′ Δ Δ →Δ y = f x)( = ′ + α Δ Δ ∴ )( 0 xf x y )0lim( 0 = →Δ α x Δ y = f ′ )( Δ + αΔxxx 故 0 0 = f ′() ( ) x xo x Δ+ Δ   线性主部 即 0 d () y fx x = ′ Δ 在点 的可导 x 0 , )0)(( ′ xf 0 ≠ 时 则 定理 函数

说明：△y=f'(xo)△x+o(△x) dy=f'(xo)△x 当f'(x)≠0时， lim △y=lim △y △x→0dy △r-→0f'(x0)△x 1 lim Ay =1 f(xo)Ax0 Ax 所以△x→0时△y与dy是等价无穷小，故当△x 很小时，有近似公式 △y≈dy 2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 6 目录 上页 下页 返回 0 f x ′()0 ≠ 时 , y = f ′ )(d Δxx0 )()( 0 y =Δ f ′ Δ + Δxoxx y y x d lim0 Δ →Δ xxf y x ′ Δ Δ = →Δ )( lim 0 0 x y xf x Δ Δ ′ = →Δ 0 0 lim )( 1 = 1 所以 Δx → 0 时 Δ y dy 很小时, 有近似公式 Δ x Δy y ≈ d 与 是等价无穷小, 当 故当 说明 :

二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 dy=f'(xo)△x=tana:△x dy 当△x很小时，△y≈dy ↑yy=f(x)/ 当y=x时， Ay=Ax dx 称△x为自变量的微分，记作dx 0+△x 则有 dy=f(x)dx 从而 =f(x) 导数也叫作微商 dx 2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 、返回

2009年7月3日星期五 7 目录 上页 下页 返回 二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 y = f ′ x )(d Δx 0 + Δxx0 x y o = xfy )( α 0 x Δy = tan α ⋅Δ x dy 当 很小时 Δx , Δy ≈ dy 当 = xy 时， 则有 dy = f ′ x)( dx 从而 )( d d xf x y = ′ 导数也叫作微商 称 Δx 为自变量的微分, 记作 dx Δy Δ= x = dx 记

例如，y=x3, dy x=2 =3x2.dx x=2 =0.24 dx=0.02 dx=0.02 又如，y=arctanx, dy= 1 dx 1+r2 2009年7月3日星期五 8 目录○ 上页下页 返回

2009年7月3日星期五 8 目录 上页 下页 返回 , 3 = xy dy 02.0d 2 = = x x 2 = 3 x ⋅dx 02.0d 2 = = x x = 24.0 y = x ,arctan dy x x d 1 1 2 + = 又如 , 例如

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1.基本初等函数的微分公式（参看课本表格） 2.函数和、差、积、商的微分法则 设(x),v(x)均可微，则 (I)d(u±v)=du±dv (2)d(Cu)=Cdu(C为常数) (3)d(uv)=vdu+udy 4的-a,*01 2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 9 目录 上页 下页 返回 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1．基本初等函数的微分公式 (参看课本表格 ) 2．函数和、差、积、商的微分法则 设 u (x) , v (x) 均可微 , 则 （）1 d( ) u v ± （ ）2 d( ) Cu ( C 为常数 ) （ ）3 d( ) uv 4 d( ) ( 0) u v v （ ） ≠ = ± dd vu = C du = + dd vuuv 2 dd v − vuuv =

3.复合函数的微分法则 y=f(u),u=p(x)分别可微，则复合函数y=f[o(x)] 的微分为 dy y dx f"(u)o'(x)dx +d☑ dy f(u)du 微分形式不变性 1n1+e,求g冷 解法1：dy=ydx 解法2：利用“微分形式不变性” 2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回

2009年7月3日星期五 10 目录 上页 下页 返回 3．复合函数的微分法则 y = f = ϕ xuu )(,)( 分别可微 , y = f ϕ x ])([ 的微分为 y y x x = ′ dd = f ′( ) ( )d u xx ϕ′ du d ( )d y fu u = ′ 微分形式不变性 ,)1(ln 2 x += ey 求 .d 则复合函数 例1 y 解法 1： y y x x = ′ dd 解法 2： 利用 “微分形式不变性 ” 2 2 2 d 1 x x xe x e = +