电子科技大学：《泛函分析 Functional Analysis》课程教学资源（课件讲稿）CH04 对偶空间理论 Theory of Dual Space

泛函分析 对偶空间理论 窦芳芳 数学科学学院 泛函份析 November 3.2021 1/32

泛 函 分 析 对偶空间理论 窦 芳 芳 数学科学学院 泛函分析 November 3, 2021 1 / 32

几类重要Banach空间的对偶空间 1.1P的对偶空间 1.2P(a,b)的对偶空间 1.3连续函数空间的对偶空间 1.4可分Banach空间的对偶空间的可分性 自反的Banach空间 零化子空间与直和分解 弱收敛与弱*收敛 算子序列的收敛性 泛函分析 November 3.2021 2/32

几类重要 Banach 空间的对偶空间 1.1 l p 的对偶空间 1.2 L p (a, b) 的对偶空间 1.3 连续函数空间的对偶空间 1.4 可分 Banach 空间的对偶空间的可分性 自反的 Banach 空间 零化子空间与直和分解 弱收敛与弱 ∗ 收敛 算子序列的收敛性 泛函分析 November 3, 2021 2 / 32

几类重要Banach空间的对偶空间 定义 设X为一个赋范线性空间，X上所有有界线性泛函构成的集合称 为X的对偶空间，记为”. X是Banach空间. 泛函份析 November 3.2021 3/32

几类重要 Banach 空间的对偶空间 定义 设 X 为一个赋范线性空间, X 上所有有界线性泛函构成的集合称 为 X 的对偶空间, 记为 X′ . X′ 是 Banach 空间. 泛函分析 November 3, 2021 3 / 32

P的对偶空间 定理 的对偶空间()'保范同构于 由于()'和同构，我们把()y和同一化，所以可以说1的 对偶空间是，即()'=.但这只是同构意义下的等式. 泛函分析 November 3.2021 4/32

l p 的对偶空间 定理 l 1 的对偶空间 (l 1 ) ′ 保范同构于 l∞. 由于 (l 1 ) ′ 和 l∞ 同构, 我们把 (l 1 ) ′ 和 l∞ 同一化, 所以可以说 l 1 的 对偶空间是 l∞, 即 (l 1 ) ′ = l∞. 但这只是同构意义下的等式. 泛函分析 November 3, 2021 4 / 32

定理 P(1<p<o∞)的对偶空间(Py保范同构于9，其中日+是=1. 泛函分析 November 3.2021 5/32

定理 l p (1 < p < ∞) 的对偶空间 (l p ) ′ 保范同构于 l q , 其中 1 q + 1 p = 1. 泛函分析 November 3, 2021 5 / 32

LP(a,b的对偶空间 定理 LP(a,b)(1<p<o)的对偶空间(LP(a,b)Y保范同构于L(a,b). 泛函分析 November 3.2021 6/32

L p (a, b) 的对偶空间 定理 L p (a, b) (1 < p < ∞) 的对偶空间 (L p (a, b))′ 保范同构于 L q (a, b). 泛函分析 November 3, 2021 6 / 32

连续函数空间的对偶空间 定理 C(a,Y保范同构于%a,. 推论 设P是[a,上的多项式全体构成的C([a,)的线性子空间. 设f是P上连续线性泛函，那么∫必可唯一地延拓成C([α，)上连续线 性泛函，而且存在唯一的9∈V%a,)使得对任何x∈C([a,)成立 田=9d(0. 泛函分析 November 3.2021 7/32

连续函数空间的对偶空间 定理 C([a, b])′ 保范同构于 V0[a, b]. 推论 设 P 是 [a, b] 上的多项式全体构成的 C([a, b]) 的线性子空间. 设 f 是 P 上连续线性泛函, 那么 f 必可唯一地延拓成 C([a, b]) 上连续线 性泛函, 而且存在唯一的 g ∈ V0[a, b] 使得对任何 x ∈ C([a, b]) 成立 f(x) = ∫ b a x(t)dg(t). 泛函分析 November 3, 2021 7 / 32

设C2r为2π为周期的连续函数()的全体，按通常的线性运算以 及范数‖l=,maxl(t构成的赋范线性空间.设V2m是Vo[0,2]中 0≤t长2π 满足条件 1img(x)=g(0)=0 r0十 的函数全体所成的线性子空间.和推论1.6相仿，我们有如下结果 推论 设∫是C2m上连续线性泛函，那么必有唯一的9∈V2m使得 当x∈C2x时， = d(t)dg(t) 而且=哈(g: 泛函分析 November 3.2021 8/32

设 C2π 为 2π 为周期的连续函数 ϕ(·) 的全体, 按通常的线性运算以 及范数 ||ϕ|| = max 0≤t≤2π |ϕ(t)| 构成的赋范线性空间. 设 V2π 是 V0[0, 2π] 中 满足条件 lim x→0+ g(x) = g(0) = 0 的函数全体所成的线性子空间. 和推论 1.6 相仿, 我们有如下结果. 推论 设 f 是 C2π 上连续线性泛函, 那么必有唯一的 g ∈ V2π 使得 当 x ∈ C2π 时, f(x) = ∫ 2π 0 x(t)dg(t) 而且 ||f|| = V2π 0 (g). 泛函分析 November 3, 2021 8 / 32

推论 设T是周期为2π的三角多项式全体构成的C如的线性子空间. 设∫是T上的连续线性泛函，那么∫一定可以唯一地延拓成C2上的 连续线性泛函，并且有唯一的g∈V2m使得 2元 )=()dg() 泛函份析 November 3.2021 9/32

推论 设 T 是周期为 2π 的三角多项式全体构成的 C2π 的线性子空间. 设 f 是 T 上的连续线性泛函, 那么 f 一定可以唯一地延拓成 C2π 上的 连续线性泛函, 并且有唯一的 g ∈ V2π 使得 f(x) = ∫ 2π 0 x(t)dg(t). 泛函分析 November 3, 2021 9 / 32

可分Banach空间的对偶空间的可分性 定理 设X是赋范线性空间，如果X*可分，则X也可分 推论 L(a,b) 的对偶空间不可能保范同构于L(a,b);©的对偶空间不可 能保范同构于. 泛函分析 November 3,2021 10/32

可分 Banach 空间的对偶空间的可分性 定理 设 X 是赋范线性空间, 如果 X∗ 可分, 则 X 也可分. 推论 L∞(a, b) 的对偶空间不可能保范同构于 L 1 (a, b); l∞ 的对偶空间不可 能保范同构于 l 1 . 泛函分析 November 3, 2021 10 / 32