《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第九章 组合变形

第九章组合变形 授课学时:4学时 主要内容:拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。 §9-1概述 1.定义 在复杂外载荷作用下,构件的变形会包含几种简单变形,当几种变形所对应的应力属同 一量级时,不能忽略之,这类构件的变形称为组合变形 2.组合变形形式 两个平面弯曲的组合;拉伸或压缩与弯曲的组合:扭转与弯曲。 3.组合变形的研究方法一叠加原理 对于线弹性状态的构件,将其组合变形分解为基本变形,考虑在每一种基本变形下的应 力和变形,然后进行叠加。 4.解题步骤 外力分析:外力向形心简化并沿主惯性轴分解 内力分析:求出每个外力分量对应的内力方程和内力 图,确定危险面。 应力分析:画危险面应力分布图,叠加,建立危险点的 强度条件。 §9-2拉(压)弯组合 例起重机的最大吊重P=12kN,[]=100kN/m2。试 B 为横梁AB选择适用的工字钢。 解: A (1)受力分析 由 0得 7=18kN,72 7,=24kN (2)作AB的弯矩图和剪力图,确定C左侧截面为危险截面。 (3)确定工字钢型号 12kN. m 按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数 12×10 W≥ =120cm3 II 100×10° 查表取W=141cm3的16号工字钢,其横截面积为 26.lcm2。 ·目 在C左侧的下边缘压应力最大,需要进行校核

1 第九章 组合变形 授课学时：4 学时 主要内容：拉弯、斜弯曲和弯扭组合变形的强度和变形的校核和计算。 §9–1 概 述 1．定义 在复杂外载荷作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同 一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。 2．组合变形形式 两个平面弯曲的组合；拉伸或压缩与弯曲的组合；扭转与弯曲。 3．组合变形的研究方法 —— 叠加原理 对于线弹性状态的构件，将其组合变形分解为基本变形，考虑在每一种基本变形下的应 力和变形，然后进行叠加。 4．解题步骤 外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解 内力分析：求出每个外力分量对应的内力方程和内力 图，确定危险面。 应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的 强度条件。 §9–2 拉(压)弯组合 例 起重机的最大吊重 P =12kN，  2  =100kN/ m 。试 为横梁 AB 选择适用的工字钢。 解： （1）受力分析 由 M A = 0 得 Ty = 18kN ，Tx Ty 24kN 1.5 2 = = （2）作 AB 的弯矩图和剪力图，确定 C 左侧截面为危险截面。 （3）确定工字钢型号 按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数   3 6 3 120 100 10 12 10 cm M W =    =  查表取 3 W = 141cm 的 16 号工字钢，其横截面积为 2 26.1cm 。 在 C 左侧的下边缘压应力最大，需要进行校核。 + = A HA P RA Tx Ty T C B M x N 12kN .m x 24kN

24×10312×103 AW|264×10-141×10-6 =94.3MPa<100MPa 固所选工字钢为合适 §9-3斜弯曲 1.斜弯曲概念:梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合,这时杆件将在形 心主惯性平面内发生弯曲,变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内, 2.解题方法 1)分解:将外载沿横截面的两个形心主轴分解,于是得到两个正交的平面弯曲 2)叠加:对两个平面弯曲进行研究;然后将计算结果叠加起来。 例矩形截面悬臂梁,求根部的最大应力和梁端部的位移 解 (1)将外载荷沿横截面的形心主轴分解 P=Pcos, P= Psin (2)外载荷在固定端两平面内的弯矩 M =-Pl=-Pl cos p l=-Plsn (3)应力 由弯矩M引起任意点C处应力 My Plcos 由弯矩M,任意点C处应力 M,y PIsin。 (4)最大正应力一在C处的应力叠加为 0=O+0 Plcosp. PIsin , (5)变形计算 由P引起的垂直位移 Pl 3EL 3EI

2 MPa MPa W M A N 94.3 100 141 10 12 10 26.4 10 24 10 6 3 4 3 max max =    +   = + = − −  固所选工字钢为合适。 §9–3 斜弯曲 1．斜弯曲概念：梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件将在形 心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内， 2．解题方法 1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。 2）叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。 例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大应力和梁端部的位移。 解： （1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解 Py = Pcos ， P z = Psin  （2）外载荷在固定端两平面内的弯矩 M z = −Py l = −Pl cos M y = −Pz l = −Plsin  （3）应力 由弯矩 M z 引起任意点 C 处应力 y I Pl I M y z z z = = − •   ' cos 由弯矩 M y 任意点 C 处应力 z I Pl I M y y y y = = − •   '' sin （4）最大正应力—在 C 处的应力叠加为         = + = − • + • z I Pl y I Pl z y      ' '' cos sin （5）变形计算 由 Py 引起的垂直位移 z z y y EI Pl EI P l f 3 cos 3 3 3  = =  P z f y f f x  z o P  y x 。 C

由P引起的垂直位移 P/ PIsin J:=3E13E1 将∫2、f,几何叠加得 ∫=Vf+f2 Proso. sin 3E(I2 上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。 §9-4弯曲与扭转的组合 1.外力向杆件截面形心简化 P向轴心简化得一等值力和扭矩 PD x平面内的弯矩1 Pab Pab xy平面内的弯矩M2:m PD 2.画内力图确定危险截面 在危险截面上,与扭矩T对应的边缘上的 极值为 E T W 与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为 D点的主应力为 22√2+4r 3.确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论,强度条件是

3 由 Pz 引起的垂直位移 y y z z EI Pl EI P l f 3 sin 3 3 3  = = 将 z f 、 y f 几何叠加得 2 2 3 2 2 2 1 cos sin 3         +         = + = z y E I I Pl f f f   tan tan y z y z I I f f = = 上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合。 §9–4 弯曲与扭转的组合 1．外力向杆件截面形心简化 P 向轴心简化得一等值力和扭矩 2 PD T = m = xz 平面内的弯矩 l Pab M t y,max = xy 平面内的弯矩 l Pab M z,max = 2 2 2 ,max 2 ,max P P l ab M = M y + M z = t + 2．画内力图确定危险截面 在危险截面上，与扭矩 T 对应的边缘上的切应力极值为 Wt T  = 与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为 W M  = D 点的主应力为 0 2 4 1 2 2 2 2 3 1 = + =           3．确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论，强度条件是  −   1 3 m B A E C a P Pt b l m P A B E C x y z 2 PD Pt x 2 T PD x M y l Pab x l Pab M z

l2+4x2s{ 对于圆轴W=2W,其强度条件为 ≤[] 按第四强度理论,强度条件为 O-02)+ (2-3) 经化简得出 a2+3r2≤ 对于圆轴,其强度条件为 M2+0.7572

4  +     2 2 4 对于圆轴 Wt = 2W ，其强度条件为 [ ] 2 2   + W M T 按第四强度理论，强度条件为 ( − ) + ( − ) + ( − )    2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 1 经化简得出  +     2 2 3 对于圆轴，其强度条件为 [ ] 0.75 2 2   + W M T