《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第三章 扭转

第三章扭转变形 授课学时:6学时 内容: 外力偶矩的计算 扭转剪应力推导过程 圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度,圆轴扭转变形时的刚度和变形(相对扭转 角)计算 S31扭转的概念 1.外力特征 力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。 2.扭转变形受力特点 杆件的两端作用着大小相等,方向相反,且作用面垂直于杆件轴线。 3.力偶变形特点 各轴线仍为直线,杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动 B 4.工程实例 方向盘轴、传动轴 S32扭矩和扭矩图 1.外力偶矩的计算 =9549-(Nm) N:功率;n:转速 2.扭矩和扭矩图 (1)内力偶矩:杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号T (2)内力偶矩计算一截面法 用截面n-n将轴分成两部分,按右手螺旋法则把m,T表示为矢量,列出左部分平衡 方程∑M2=0,得到 当矢量方向与截面外法线方向一致时,T为正:反之为负。 对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况,任一截面的内力偶矩等 于其一侧所有外力偶矩的代数和 ∑ (3)扭矩图 表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形,反应出7=值及 其截面位置,从而进行强度计算(危险截面)。该图一般以杆件轴线为1

第三章 扭转变形 授课学时：6 学时 内容： 外力偶矩的计算； 扭转剪应力推导过程； 圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度，圆轴扭转变形时的刚度和变形（相对扭转 角）计算。 $3.1 扭转的概念 1．外力特征 力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。 2．扭转变形受力特点 杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线。 3．力偶变形特点 各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 A B A B m   m 4．工程实例 方向盘轴、传动轴。 $3.2 扭矩和扭矩图 1．外力偶矩的计算 9549 (N.m) n N m =  N：功率； n ：转速 2．扭矩和扭矩图 （1）内力偶矩：杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号 T （2）内力偶矩计算—截面法 用截面 n − n 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把 m ，T 表示为矢量，列出左部分平衡 方程 Mx = 0 ，得到 T = m 当矢量方向与截面外法线方向一致时，T 为正；反之为负。 对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况，任一截面的内力偶矩等 于其一侧所有外力偶矩的代数和 T = Mi （3）扭矩图 表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形，反应出 max T 值及 其截面位置，从而进行强度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为 m m m n n  II  T x m n n T II x T

横轴表示横截面位置,纵轴表示扭矩大小。 例传动轴如图,主动轮A输出功率P4=36kW,从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=P=11kW,Pb=14kW,轴的转速为n=300r/mn。试作轴的扭矩图。 解: (1)求外力偶矩 m,=9549P=9549×36=116m b=m=9549=954+03s0Nn"B!cmmD 4 mn=9549 PD =446Nm (2)求截面内扭矩 T 在BC段内 T+mB=0 T=-mB =-350Nm 在CA段内 =-700Nm 在AD段内 Tu=m=446N m (3)画扭矩图 S33薄壁圆筒的扭转 1.薄壁圆筒的扭转实验

横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。 例 传动轴如图，主动轮 A 输出功率 PA = 36kW ，从动轮 B、C、D 输出功率分别为 PB = PC =11kW ， PD =14kW ，轴的转速为 n = 300r/min 。试作轴的扭矩图。 解： （1）求外力偶矩 N m n P m A A 1146 . 300 36 = 9549 = 9549 = N m n P m m B B C 350 . 300 11 = = 9549 = 9549 = N m n P m D D 446 . 300 14 = 9549 = 9549 = （2）求截面内扭矩 在 BC 段内 T1 + mB = 0 T1 = −mB = −350N.m 在 CA 段内 T + mC + mB = 0 T = −mC − mB = −700N.m 在 AD 段内 T = mD = 446N.m （3）画扭矩图 $3.3 薄壁圆筒的扭转 1．薄壁圆筒的扭转实验 mB mC mA mD B C A D I I II II III III mB T1 mB mC T  TIII mD T x

(b) (c) (d) (e 试验前后比较现象: ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变,只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度y。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 得出结论 纵向截面和过轴线的截面上无正应力,只有切于纵向截面的切应力 2.薄壁圆筒的扭转的切应力 应用截面法并考虑q左侧的平衡方程∑M2=0,得出m=2m1rr 3.剪应力互等定理: 由∑M1=0得,(r·bkx=(thb T=T 由上式得出:在单元体相互垂直的两个平面上,切应力必然成对存在且数值相等,两者 都垂直于两平面的交线,方向则共同指向或背离该交线 4.切应变剪切胡克定律 切应变 r=Gy——剪切胡克定律 式中r一半径:φ一扭转角;一圆筒长度;y-—剪应变;G—一剪切弹性模量 S34圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算 1.变形几何关系一圆轴扭转的平面假设 圆轴扭转的平面假设:圆轴扭转变形前的横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不 变,半径保持为直线;且相邻两截面间距离不变 do 2.物理关系—胡克定律

 p q p q p p p p q q q q l t r  '   o x y z m m m  t dx dy (a) (b) (c) (d) (e) 试验前后比较现象： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度  。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 得出结论： 纵向截面和过轴线的截面上无正应力，只有切于纵向截面的切应力。 2．薄壁圆筒的扭转的切应力 应用截面法并考虑 qq 左侧的平衡方程 Mx = 0 ，得出 m = 2rt  r r t m 2 2 • =   3．剪应力互等定理： 由 Mx = 0 得 ，( • tdy)dx = ( • tdx)dy '   '  =  由上式得出：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者 都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离该交线。 4．切应变 剪切胡克定律 l r  = ——切应变  = G ——剪切胡克定律 式中 r —半径；  —扭转角； l —圆筒长度；  ——剪应变；G——剪切弹性模量。 $3.4 圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算 1．变形几何关系—圆轴扭转的平面假设 圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不 变，半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。 dx d   =  2．物理关系——胡克定律 ` o T T d     dx

3.力学关系 T Ip=JpdA=2r[edp= zR'rD4 2 R I, W 其中形=2,称为抗扭截面模量,是仅与横截面尽过在≥ R 4.扭转强度和刚度分析 为了保证圆轴安全可靠地工作,应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力 W 根据圆轴扭转的强度条件,可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度 计算问题 圆轴扭转时的刚度条件: 为了消除长度的影响,用d/dx表示扭转变形的程度,令 ≤[ql 距离为l的两个横截面之间的相对扭转角为 d x dx G 对于阶梯轴(各段的极惯性矩不同)或轴上有几个外力偶作用时,应分段计算每段的饿 扭转角,然后求代数和,即为两端面间的扭转角 φ=a1++ 例传动轴上有三个齿轮,齿轮2为主动轮,齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为 0756KW和298KW。若轴的转速为1835/mn,材料为45钢,[]=40MPa。根据

dx d G G    =   =  3．力学关系 dA dx d G dx d T dA G A A A = = = 2 2          p I T = 2 32 2 4 4 0 2 2 R D I dA d R A p   =  =    = =   p Wt T R I T  max = = 其中 R I W p t = ，称为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。 4．扭转强度和刚度分析 为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力  ， 即 [ ] max  =   Wt T 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度 计算问题。 圆轴扭转时的刚度条件： 为了消除长度的影响，用 d / dx 表示扭转变形的程度，令 GI p T dx d = =   ， [ ] max  max =   GI p T 距离为 l 的两个横截面之间的相对扭转角为   = = l p l p dx GI T dx GI T  对于阶梯轴（各段的极惯性矩不同）或轴上有几个外力偶作用时，应分段计算每段的饿 扭转角，然后求代数和，即为两端面间的扭转角 = = + + = n i pi i i GI T l 1  1 2  例 传动轴上有三个齿轮，齿轮 2 为主动轮，齿轮 1 和齿轮 3 消耗的功率分别为 0.756KW 和 2.98KW 。若轴的转速为 183.5r/min ，材料为 45 钢，   = 40MPa 。根据 T max  max  dA   

强度确定轴的直径。 1)计算力偶距 9549 m2=95493=155Nm (2)根据强度条件计算直径 155Nm 从扭矩图上可以看出,齿轮2与3间的扭矩绝对值最大 T D≥ 0.0272m 例若上题规定=1.5()m,且已知G=80GPa按刚度条件确定轴的直径,并求齿 轮3对齿轮1的转角 180 D≥ 0.029 80×10.×2×1.5 2可n80×103xx(0×0185×103mad 39.3×0.3 39.3×04 =-155 975×10-rd 80×10°×x×0×02) 中3=2+中2=-7.9 S35扭转变形能 1.扭矩作功

强度确定轴的直径。 解: (1) 计算力偶距 N m n P m 9549 39.3 . 1 1 = = N m n P m 9549 155 . 3 3 = = m2 = m1 + m3 =194.3N.m (2) 根据强度条件计算直径 从扭矩图上可以看出，齿轮 2 与 3 间的扭矩绝对值最大。 [ ] 16 3 max max max    = =  D T W T t   m T D 0.0272 16 3 max  =   例 若上题规定  =1.5()/ m ，且已知 G = 80GPa 按刚度条件确定轴的直径，并求齿 轮 3 对齿轮 1 的转角。 解：   1.5 180 32 155 4 max   = • =     G D D 0.029m 80 10 1.5 32 155 180 4 9 2 =        ( ) rad GI Tl P 3 4 9 3 12 1.85 10 30 10 32 80 10 39.3 0.3 − − =       = =   ( ) rad GI Tl P 3 4 9 3 23 9.75 10 30 10 32 80 10 39.3 0.4 155 − − = −       = = −   rad 3 13 12 23 7.9 10−  =  + = −  $3.5 扭转变形能 1．扭矩作功 1 2 3 m1 m2 m3 0.3m 0.4m x T 155N.m 39.3N.m

2.扭转变形能和能密度 U=W=mφ==m GI 2G1 2G/ φ1mpp 22mt·l22m2t l=-t·y S36圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形 1.弹簧丝横截面上的应力 t O=PT=PD/2 x=9=4P T 8PD w 7d 8PD(d T. x 2, max td(2D +1)=8PD 4c-10.6158PD,8PD 修正公式:rmx=(4c-4x 式中 k 4c-10.61 2.弹簧的变形

W m 2 1 = 2．扭转变形能和能密度 P P GIP T l GI m l GI Tl U W m m 2 2 2 1 2 1 2 2 = =  = = = l r r t m rt l m V U u     = • • • = = • 2 2 2 1 2 2 1 =  •  2 1 u $3.6 圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形 1．弹簧丝横截面上的应力 Q = P,T = PD/ 2 1 2 4 d P A Q   = = ， 2,max 3 8 d PD W T t   = = max 1 2,max 3 3 8 1 2 8 d PD D d d PD       =      = + = + 修正公式： max 3 3 0.615 8 8 4 4 4 1 d PD k d PD c c c     =      + − − = 式中 d D c = ， c c c k 0.615 4 4 4 1 + − − = 2．弹簧的变形 m   m P P

弹簧的变形是指弹簧在轴向压力(或拉力)作用下,沿轴线方向的缩短量(或伸长量), 用λ表示 在弹性范围内,压力P与变形A成正比 128P2D2 2G G do U=「m_128PD3 del o de[ ds=4P'D'n d/2 Gd d 令变形能等于外力作功,即U=W,于是有 4P-D 8PDm=其中C=Gd Gd 8D'n

弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向的缩短量（或伸长量）， 用  表示 在弹性范围内，压力 P 与变形  成正比。 W P 2 1 = 2 2 8 2 2 2 128 2    G d P D G u = =  = V U udV 4 2 3 0 / 2 0 3 2 0 2 8 2 2 128 4 Gd P D n d d ds G d P D U udV d n D V = = =           令变形能等于外力作功，即 U=W ，于是有 4 2 3 4 2 1 Gd P D n P = C P Gd PD n = = 4 3 8  其中 D n Gd C 3 4 8 =