深圳大学：《系统动力学》课程教学资源（PPT课件）第九讲 高阶系统的时域分析

高阶系统的时域分析 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系 统。 由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总 是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个 闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴 较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较 快，只起次要作用，可以忽略

高阶系统的时域分析 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系 统。 由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总 是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个 闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴 较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较 快，只起次要作用，可以忽略

这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、 二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念。 一、二系统的极点分布如下： i j 01-2 B -50l 火 -01-ξ2 (a) (b)

这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、 二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念。 一、二阶系统的极点分布如下：

高阶系统的暂态响应 1.典型三阶系统的阶跃响应 典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一 个惯性环节构成，其传递函数为： a (s)=+2X5+2)(T3+1 可改写为 一w253 设0<℃<1 p(s)=(G2+2gw9干g)(3-59)5 引入：B=gw. -53 K =(5-51)(s-52)(5 单位阶跃响应为： eop ()2)(-2)os1 +5IS(3-2+1lsnV个-5at 1-2 e 9(3-2)+1 (t≥0) 图3-33典型三阶系统的零极点分布

高阶系统的暂态响应 可改写为 ：设 0<  <1 引入： 单位阶跃响应为： 1. 典型三阶系统的阶跃响应 典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一 个惯性环节构成，其传递函数为：

当不变时，绘出β取不同值时的c（t)曲线如下图所示。 增加极点将使超调量减 1.2 小，调节时间增加。 1.0 co) 当增加的极点远离虚轴 0.8 (β>1)时，其影响逐渐减 B=2 小。 0.6 0.4 如果增加的极点位于共 轭复数极点的右侧（即B<1) 0.2 则系统响应趋于平缓，响 4 应特性类似于过阻尼情况的 n I 图3-34三阶系统的单位阶跃喇应 二阶系统

当不变时，绘出取不同值时的c（t）曲线如下图所示。 增加极点将使超调量减 小，调节时间增加。 当增加的极点远离虚轴 （ >>1）时，其影响逐渐减 小。 如果增加的极点位于共 轭复数极点的右侧（即<1） ，则系统响应趋于平缓，响 应特性类似于过阻尼情况的 二阶系统

高阶系统暂态响应分析 (1)高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的传递函数为： Φ(s)= bosm+b1sm-1十…十bm-1s+bn s"+a1s”-1+…十an-1s十an 改写为零、极点形式： Φ(s)= K1(s-z1)(s一22)(s-之m) (s-S1)(s一S2)…(s-sn) 当单位阶跃信号输人时，其系统的阶跃响应拉氏变换式为： K:ii (s) C(s)= si(s-s)Ⅱ(s2+25aas+) -+会+ Ba(s+S4w)十C4w地√1一S s2十25wm5十o

高阶系统暂态响应分析 (1)高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的传递函数为： 改写为零、极点形式： 当单位阶跃信号输人时，其系统的阶跃响应拉氏变换式为:

对上式进行拉氏反变换，得 c()=+eBe-cos1 S是ant +∑Cxei'sin√1-t(t≥0) 高阶系统的单位阶跃响应是由+1项（每一项称为高阶系 统单位阶跃响应的一个分量)组成，每个分量对应于C(S)的一 个极点。 每个单极点对应一阶系统响应分量，一对共轭复数极点 对应一个二阶振荡系统的响应分量。 如果系统所有的闭环极点都具有负的实部，即所有闭环 极点都在S平面的左半部，那么随着时间的增长，c()中除第 一项外的项都趋于零，且闭环极点距虚轴越远，对应的响应分 量衰减得越快

对上式进行拉氏反变换，得 高阶系统的单位阶跃响应是由n+1项（每一项称为高阶系 统单位阶跃响应的一个分量）组成，每个分量对应于C(s)的一 个极点。 每个单极点对应一阶系统响应分量，一对共轭复数极点 对应一个二阶振荡系统的响应分量。 如果系统所有的闭环极点都具有负的实部，即所有闭环 极点都在S平面的左半部，那么随着时间的增长，c(t)中除第 一项外的项都趋于零，且闭环极点距虚轴越远，对应的响应分 量衰减得越快

高阶系统的近似分析。 常见高阶系统的单位阶跃响应见下图所示。 高阶系统的主导极点应 满足 c(n (1)离虚轴最近，小于 其它极点到虚轴距离的115 。该极点的响应的分量衰 减最慢； 在工程实践中，通常利用主导 c(n c 极，点的概念，对高阶系统进行 近似处理，简化为一阶系统或 二阶振荡系統，再进行性能指 标的计算和分析。 (2)附近无闭环零点， (c) 0 (d) 相应的响应分量系数A最 图3-35高阶系统的阶跃响应曲线 大

(2) 高阶系统的近似分析。 常见高阶系统的单位阶跃响应见下图所示。 高阶系统的主导极点应 满足： （1）离虚轴最近，小于 其它极点到虚轴距离的1/5 。该极点的响应的分量衰 减最慢； （2）附近无闭环零点， 相应的响应分量系数Ai最 大。 在工程实践中，通常利用主导 极点的概念，对高阶系统进行 近似处理，简化为一阶系统或 二阶振荡系统，再进行性能指 标的计算和分析

主导极点可能是单个实数极点，也 可能是共轭复数极点。前者可用一阶系 统近似代替，后者可用二阶振荡系统近 似代替

主导极点可能是单个实数极点，也 可能是共轭复数极点。前者可用一阶系 统近似代替，后者可用二阶振荡系统近 似代替

系统稳定性分析 一、 系统稳定的概念 口是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差 状态恢复到原平衡状态的性能。 ▣若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳 定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复 平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是 不稳定的

一、系统稳定的概念 ❑ 是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差 状态恢复到原平衡状态的性能。 ❑ 若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳 定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复 平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是 不稳定的。 系统稳定性分析

■系统稳定的充分必要条件是： 系统的特征方程的所有根都具有负实部， 或者说都位于S平面的虚轴之左。 注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： SE(S在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条 件的另一种表示，即特征方程的所有根S,位于S平 面的虚轴之左

◼ 系统稳定的充分必要条件是： 系统的特征方程的所有根都具有负实部， 或者说都位于S平面的虚轴之左。 注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件： SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条 件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于S平 面的虚轴之左