《现代控制理论》课程教学资源——ModernControlTheory_教材课件_ch5-1

CHAPTER5 SYNTHESIS OF THE LTI SYSTEM LT反馈系统时间域综合

CHAPTER5 SYNTHESIS OF THE LTI SYSTEM LTI反馈系统时间域综合

引言 >综合与分析是相反的一个命题。 >分析： 已知系统结构和参数及外输入作用， 研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、 稳定性等)和定量的变化规律

➢ 分析 ： ➢ 综合与分析是相反的一个命题。 稳定性等）和定量的变化规律。 研究系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、 已知系统结构和参数及外输入作用， 引言

>综合： 已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些 特征。 目的是确定需要施加于系统的外输入作用，即控制 规律 >综合是建立在系统分析的基础上的。 >控制律常取为反馈的形式（状态反馈或输出反馈）。 >无论抗扰动还是抗参数摄动，反馈系统优于非反馈系统。 >本章以状态空间法为基础，在时间域内讨论SSO线性 反馈系统的综合问题

➢ 综合： 目的是确定需要施加于系统的外输入作用，即控制 规律 已知系统结构和参数及所期望的系统运动形式或某些 特征。 反馈系统的综合问题。 ➢ 本章以状态空间法为基础，在时间域内讨论SISO线性 ➢ 控制律常取为反馈的形式(状态反馈或输出反馈)。 ➢ 无论抗扰动还是抗参数摄动，反馈系统优于非反馈系统。 ➢ 综合是建立在系统分析的基础上的

5.1 State Feedback Control(状态反馈控制)of the LTI System Definition 5.1 Consider the LTI system describedby X(t)=AX(t)+bu(t) y(t)=cX(t)+du(t) Alinear state-feedback control law(状态反馈控制律)is definedby. ···u(t)）=-KX(t)+r(t). Where,r(t)is the reference input into the system,and. K=[k飞2. is a constantstatefeedback gain(状态反馈增益)vector

5.1 State Feedback Control （状态反馈控制）of the LTI System

By introducing the state feedback,a closed-loop system is obtained as. ()(A-bK)X()+br() 注意：闭 (5.4 y(t)=(c-dk)X(t)+dr(t) 环系统的 特征值，特 The closed-loop system is shown in Figure 5.1. 征多项式 y(t) -K Figure-5.1-Closed-Loop-System with-State-Feedback-Control

注意：闭 环系统的 特征值,特 征多项式

The transfer-function of the closed-loop system is G(s)=(c-d)(sI-A+bK)b+d···(5.5) ↓ If.G(s)is strictly proper,i.e.d=0,we have the closed-loop system as. X(t)=(A-bK)X(t)+br(t) 6 y(t)=cX(t) the transfer function of(5.6)is. Gx(S)=c(sI-A+bK)b·. (5.7) In the following discussion,we mainly consider the case,d=0

5.1.2 Controllability and Observability of the Closed-Loop System Theorem 5.1 The closed-loop system(5.4)and (5.6)with the state feedback control is completely controllable iff the original open- loop system (5.1)is completely controllable. In other words,the controllability can be preserved by introducing the state feedback control into the open-loop system.However,the observability may be changed by introducing the state feedback control into the open-loop system. 状态反馈控制的引入，不改变系统的能控性。 值得注意的是，它可能改变系统的能观测性

5.1.2 Controllability and Observability of the Closed-Loop System 状态反馈控制的引入，不改变系统的能控性。 值得注意的是，它可能改变系统的能观测性。 Theorem 5.1 The closed-loop system (5.4) and (5.6) with the state feedback control is completely controllable iff the original open￾loop system (5.1) is completely controllable. In other words, the controllability can be preserved by introducing the state feedback control into the open-loop system. However, the observability may be changed by introducing the state feedback control into the open-loop system

Proof.The controllability matrix of the open-loop system(5.1)is. Q=「b Ab Aib.Am-b Furthermore,the controllability matrix of the closed-loop system(5.4)and(5.6) is =b (A-bK)b (A-bK)2b .(A-bK)"67 [1-Kb-K(A-bK)b.* 0 1 -Kb =[b Ab A'b.A-6] 0 0 1 0 0 Obviousyrak。=ramk2,”状态反愤控制的引入，不改变系统的能控性。 It means that the controllability can be preserved by introducing the state feedback control into the open-loop system

状态反馈控制的引入，不改变系统的能控性

Suppose the eigenvalues of the. closed-loop system are (4-bK),i=1,2,.,n.They are different fromthe eigenvalues(4)of the original open-loop system.So,introducing the state feedback control into the open-loop system may yield the pole-zeros cancellation(零极点对消). 定理4.19SS0LT1系统是完全能控完全能观的充分必要条件是它 的传递函数不存在零极点对消。 Itmeansthat,iftherialopen-loopsystemisompletelycontrollableand completelyobservable,theclosed-loopsystemwith the"state feedbackcontrol must be completely controllable,but may beunobservable

定理4.19 SISO LTI系统是完全能控完全能观的充分必要条件是它 的传递函数不存在零极点对消

5.l.3 Poles Placement(极点配置)by State Feedback Control 问题的提法 已知：x=Ax+bu,x(0)=xo,t≥0 y=Cx 性能指标：期望闭环极点，入，.，入 要求：构造u=-Kx+r,（即求K),使满足 2(A-BK)=2,i=1,2,.,n 任务：什么条件下可任意配置闭环极点，如何配置？

已知: 性能指标: 期望闭环极点 要求: 构造u=-Kx+r,(即求K),使满足 任务:什么条件下可任意配置闭环极点，如何配置？ 0 x Ax bu x x t , (0) , 0 y cx = + =  = ➢ 问题的提法 * * * 1 2 , , ,   n * ( ) , 1,2, ,   i i A BK i n − = = 5.1.3 Poles Placement （极点配置）by State Feedback Control