成都理工大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件）第四章 刚体的转动（4.3）角动量角动量守恒定律

54-3角动量角动量守恒定律 力的时间累积效应〓冲量、动量、动量定理 力矩的时间累积效应匚冲量矩、角动量、 角动量定理 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述p=mE=m2/2 刚体定轴转动运动状态的描述L=JE=J2/2 O=0,p=0 O≠0,p=0

力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、 角动量定理.   i p  j p   0, p = 0    一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 2 2 p = mv Ek = mv   质点运动状态的描述 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理. 2 2 L = J Ek = J   刚体定轴转动运动状态的描述 = 0, p = 0    §4-3 角动量 角动量守恒定律

1质点的角动量 质量为m的质点以速度7 在空间运动,某时刻相对原点L O的位矢为,质点相对于原 O 点的角动量 L=F×p=7×m7 大小L= rosin e L的方向符合右手法则 质点以角速度O作半径 为F的圆运动,相对圆心的 LI p 角动量 L=mr o=Jo

 v  1 质点的角动量 v      L = r  p = r m v  r  L   L  r  p  m o 质点以角速度 作半径 为 的圆运动，相对圆心的 角动量  r L = mr  = J 2 L  r  x y z o m 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原 点的角动量 m r  v  大小 L = rmvsin L 的方向符合右手法则. 

2质点的角动量定理 L=×= at dl d (F×p)=F ,×P dt dt dt dt dr 7,0×p=0 dl_ dp F×P L 作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O的角 dt动量随时间的变化率

? d d , d d = = t L F t p    p t r t p r p r t t L        =  =  +  d d d d ( ) d d d d t L M d d   = 作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率. r F t p r t L       =  =  d d d d , 0 d d =  p = t r      v v 2 质点的角动量定理 L r p    = 

dl Mdt=L2-L1冲量矩Mdt dt 质点的角动量定理:对同一参考点O,质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量 3质点的角动量守恒定律 M=0,L=恒矢量 质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该 参考点O的角动量为一恒矢量

质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量. M = L =   0, 恒矢量 冲量矩 M t t t d 2 1   质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. d 2 1 2 1 M t L L t t    = −  3 质点的角动量守恒定律 t L M d d   =

例1一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为m的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动小球开始 时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上) 然后从A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦略去不计求 小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度 解小球受重力和支持 力作用,支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里 M=marcos 6 由质点的角动量定理 mgR cose d/ L dt

例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 M = mgRcos t L mgR d d cos =

mgR cos0 dL dL=maRcos edt 考虑到 o=de/ dt, L=mRv=mRO 得LdL=m2 gR COS6 由题设条件积分上式 LdL=mgR cos 010 L=mro L=mR/(2g sin 0) a=(Sin 0)12 R

t L mgR d d cos = dL = mgRcosdt 考虑到    2 = d dt, L = mRv = mR d cosd 2 3 得 L L = m gR 由题设条件积分上式   =    0 2 3 0 LdL m gR cos d L 3 2 1 2 L = mR (2g sin ) 1 2 sin ) 2  (  R g =  2  L = mR

例2一质量m=1.20×10+kg的登月飞船,在离 月球表面高度h=100m处绕月球作圆周运动飞船 采用如下登月方式:当飞船位于点A时,它向外侧短 时间喷气,使飞船与月球相切地到达点B,且OA与 OB垂直.飞船所喷气体相对飞船的速度为 =1.00×104ms-.已知 月球并径R=1700km; 在飞船登月过程中,月球的/0B 重力加速度视为常量 R g=162ms2 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 h △m是多少?

例2 一质量 的登月飞船, 在离 月球表面高度 处绕月球作圆周运动.飞船 采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短 时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知 月球半径 ; 在飞船登月过程中,月球的 重力加速度视为常量 . 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 m 是多少? 0 v  A v  B B v  u  v   h O R A 1.20 10 kg 4 m =  h =100km 4 1 1.00 10 m s − u =   R =1700km 2 1.62m s − g = 

已知m=1.20×10kgh=100km L-=1.00×10m.s- R=1700km g=1.62m·s-2求所需消耗燃料的质量△m 解设飞船在点A的 速度0,月球质量mM, B 由万有引力和牛顿定律 R △oi G (R+b)2 rth 8=G mM h R

解 设飞船在点 A 的 速度 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律 0 v  R h m R h m m G + = + 2 0 2 M ( ) v 2 M R m g = G 0 v  A v  B vB  u  v   h O R A 1.20 10 kg 4 m =  h =100km 4 1 1.00 10 m s − u =   R =1700km 2 1.62m s − g =  已知 求 所需消耗燃料的质量 m

得00=( Rg2=1612ms rth B 当飞船在A点以相对速度/ 向外喷气的短时间里,飞船的 R 质量减少了△m而为m,并获得 速度的增量△⑦,使飞船的速度 A 变为7A,其值为 =(vb+△2)y2 质量m在A点和B点只受有心力作用,角动量守恒 m70(R+h)=m℃BR 得 B=(R+h)/R=1709ms

得 1 2 1 2 0 ( ) 1612 m s − =  + = R h R g v 1 2 ( ) 2 2 vA = v0 + v m v0 (R + h) = m vB R 1 ( ) 1709 m s − = R + h R =  得 vB v0 当飞船在A点以相对速度 向外喷气的短时间里 , 飞船的 质量减少了Δm而为 , 并获得 速度的增量 , 使飞船的速度 变为 , 其值为 v   A v  m' u 质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒 0 v  vA  B B v  u  v   h O R A

4=(0b+△2)2 7n=1709m·s B 0 飞船在A点喷出气体后,在到 B R 达月球的过程中,机械能守恒 104-G r+h h m'0n-G M R 即=02+2G 2G 4=1615m·s rth R 于是△0=(02-0)y2=100ms1 而(△m)=m△0△Mm=m△/=120kg

飞船在 A点喷出气体后, 在到 达月球的过程中, 机械能守恒 1 2 ( ) 2 2 vA = v0 + v 1 1709 m s − =  vB R m m G R h m m G M M   − = +   − 2 B 2 A m v m v 2 1 2 1 R m G R h m G M M 2 − 2 + = + 2 B 2 即 vA v 1 1615 m s − =  vA 于是 1 2 1 ( ) 100 m s −  = − =  2 0 2 v vA v 而 (m)u = mv m = mv u =120 kg 0 v  A v  B B v  u  v   h O R A