《材料结构 Materials Structure》课程教学资源（课件讲义）第十一讲 点式空间群（2/4）非点式操作

第十一讲 点式空间群（二） 晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对 称的反映。 晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限图形，而 晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。 宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的 概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和 位置的概念。 空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物 体（无限大晶体)自身重复的几何对称操作的集合， 构成数学意义上的群

第十一讲 点式空间群（二） 空间群：所谓结晶学空间群就是能使三维周期物 体（无限大晶体）自身重复的几何对称操作的集合， 构成数学意义上的群。 晶体宏观对称性是晶体结构（原子排列对称性）即微观对 称的反映。 晶体的宏观外形是作为一个连续整体来看的有限图形，而 晶体的微观结构是不连续排列的原子在三维空间无限展开。 宏观对称性的点群中对称要素必须交于一点，只有方向的 概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和 位置的概念

空间群的命名（国际符号) 主轴方向 非主轴方向 布拉菲点阵符号 cR产门 方向、顺序和 同态点群一致 主轴的垂直方向 非主轴方向的垂直方向 同点群一样，可省略一些派生对称素，得到简略符号

空间群的命名（国际符号） 主轴的垂直方向 主轴方向 布拉菲点阵符号 非主轴方向 非主轴方向的垂直方向 方向、顺序和 同态点群一致 同点群一样，可省略一些派生对称素，得到简略符号。 P(H)、C、I、F、R

完全符号 简写 P八112 P2 P1121/b P21/b

P112 P2 P 1121/b P 21/b 完全符号 简写

空间群操作：'={Rtr=Rr+t(赛兹算符) 对非点式操作t=τ，是单胞的分数平移 对于点式操作t=τ=0 Rt、{1I3R10、{R 点式空间群：由全部作用于同一个公共点 上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与 空间群点群相同的位置对称性

点式空间群：由全部作用于同一个公共点 上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操 作和平移对称操作组合而产生。 ۞ 螺旋轴或滑移面不是其基本操作。 ۞ 点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与 空间群点群相同的位置对称性 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移 对于点式操作t =  = 0 {R|t}、 {1|tn }、 {R|0} 、{R|}

非点式对称操作 点对称操作：r=Rrr=xa+yb+z'c=xa+yb+zc 空间群操作：r'=Rtr=Rr+t(赛兹算符) 对非点式操作t=τ，是单胞的分数平移，而对于 点式操作t=气=0 螺旋轴：11种，21；31、32；414243 61、6263、64、65 @滑移面：a、b、c;n;d

非点式对称操作 ۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d 点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于 点式操作t =  = 0

螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转 与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}=Rr+t 二 次螺旋轴2， 般写作ns 若沿螺旋轴方向的结点 间距为a(螺距)，则质点 2(C2,L2) 平移的距离为(s/n)a O+ 无 2 2 二次旋转轴 平行于纸面 112+0 ○+ c/2 2 二次螺旋轴 a/2或b12 长 平行于纸面 a/2或b/2

2 (C2 , L2 ) 二次螺旋轴 21 + + _ + + 1/2+ + _ a/2或b/2 2 21 二次旋转轴 二次螺旋轴 2 21 平行于纸面 无 平行于纸面 c/2 a/2或b/2 螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转 与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr +  一般写作n s 若沿螺旋轴方向的结点 间距为a (螺距), 则质点 平移的距离为(s/n)a

滑移面：滑移面是由非真旋转2()与非初基平移结合而成 的新对称操作，同样可由赛兹算符RI=R+t描述。晶体中有三 种不同的滑移面：轴滑移、对角线滑移、金列石滑移。 轴向滑移：平移矢量τ平行于反映面（方向？）， 大小是单胞轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移。 )+ ○+ 1a/2 b1/2 b/2 a/2 ⊙+ ① a/2 a/2 ①+ O+ ○+ b/2 b/2 a a a滑移 b滑移 n滑移 P 2 In 2 Im 2 la 滑移面的方向由空间群符号确定！ nma No.62

滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成 的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三 种不同的滑移面：轴滑移、对角线滑移、金刚石滑移。 轴向滑移：平移矢量平行于反映面(方向?)， 大小是单胞轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移。 a b + ，+ b/2 b/2 + a b + ，+ a/2 a/2 + a b + ，_ b/2 b/2 + a/2 a/2 a滑移 b滑移 n滑移 滑移面的方向由空间群符号确定！ P 21 /n 21 /m 21 /a P nma No. 62

对称轴符号 算 图示 沿轴向的 沿轴向的 对称轴 符号 右手螺旋 符 对称轴 图示 平移特征 符号 右手螺旋 平移特征 1 一次旋转轴 无 无 4 四次旋转轴 无 一个反演轴 无 c/4 无 42 四次螺旋轴 2c/4 2 二次旋转轴 43 3c/4 平行于纸面 4 四次反演轴 无 c/2 21 二次螺旋轴 6 六次旋转轴 无 平行于纸面 a/2或b/2 c/6 3 三次旋转轴 无 62 2c/6 31 c/3 6 六次螺旋轴 3c/6 三次螺旋轴 4c/6 32 2c/3 65 5c/6 3 三次反演轴 无 6 六次反演轴 无

对称轴符号 符 号 对称轴 图示 符号 沿轴向的 右手螺旋 平移特征 1 一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴 二次螺旋轴 三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴 2 21 3 31 32 3 1 无 无 无 平行于纸面 无 平行于纸面 无 无 c/2 a/2或b/2 c/3 2c/3 符 号 对称轴 图示 符号 沿轴向的 右手螺旋 平移特征 4 四次旋转轴 四次反演轴 四次螺旋轴 六次旋转轴 六次螺旋轴 六次反演轴 43 6 61 65 4 无 无 6 无 c/4 c/6 5c/6 41 42 2c/4 3c/4 62 63 64 无 2c/6 3c/6 4c/6

对称面符号 图示符号 符号 对称面 垂直于投影面 平行于投影面 滑移特征 (La或b轴) (Lc轴) 反映面 m 没有（如果平面在z=1/4的 (镜面) 高度，就在符号边标注 a,b 沿100]滑移a/2,或沿010] 滑移b/2,或沿滑移 轴滑移面 无 沿z轴滑移c2,或在菱形轴 中沿111滑移(a+b+c)/2 n 对角滑移面 (a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2,或 (网) (a+b+c)/2(四方和立方) d “金刚石” 一←· 1/8 (a±b)/4,(b±c)/4,(a±c)/4, 滑移面 3/8 或(a±b±c)/4(四方和立方)

对称面符号 符号 对称面 反映面 (镜面) 轴滑移面 m a, b c n d 对角滑移面 (网) “金刚石” 滑移面 图示符号 垂直于投影面 平行于投影面 滑移特征 没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 无 沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿滑移 沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方) (a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方) (a或b轴) (c轴) 3/8 1/8

京对称条件 晶系 点群 布拉菲点阵 1(E)或1(0) 三斜1(C),1(C) P 2(C2)或2(m) 单斜2(C2),m(Ch,2lm(C2h) P,B 两个2(C2)或2m)正交222(D2),mm2(C2w),mmm(D2h) P,C,I,F 4(C4)或4(S43) 四方4(C),4/m(C4),4mm(C,4mmm(D), P,I 422(D,4(S),4④2m(D2) 3(C3)或3(S65) 三方3(C3,3m(C3v),32(D3), P 3(S6,3m(D3d) 6(C6)或6(S35) 六方6(C),6/m(C6),6mm(C6),61mmm(D6), P 622(D6,6(C3h),62(D3) 四个三次轴 立方 23T),m3(T,43m(T), P,I,F 432(0),m3m(0h)

点对称条件 晶系 点群 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2 )或2(m) 两个2(C2 )或2(m) 4(C4 )或4(S4 3 ) 3(C3 )或3(S6 5 ) 6(C6 )或6(S3 5 ) 布拉菲点阵 P P, B P, C, I, F P, I P P, I, F P 1(C1 ), 1(Ci ) m(C1h 2(C ), 2 ), 2/m(C2h) 222(D2 ), mm2(C2v), mmm(D2h) 42m (D2d 4 (S ) 4 422 (D ), 4 ), 4/mmm(D4h 4mm(C ), 4v 4/m(C ), 4h 4(C ), 4 ), 3m(D3d) 3(C3 ), 3m (C3v), 32(D3 ), 3(S6 ), 622 (D6 ), 6/mmm (D6h 6mm(C ), 6v 6/m(C ), 6h 6(C ), 6 ), 62 (D3h 6 (C ) 3h ), 23(T), m3 (Th ), 432 (O), m3m (Oh ) 43m (Td )