《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§9.7 状态矢量的线性变换

心号与事我 §97状态头量的孩性变换 ·在线性变换下状态方程的特性 •系统转移函数阵在线性变换下是不变的 •A矩阵的对角化 •由状态方程判断系统的稳定性 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始

新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §9.7 状态矢量的线性变换 •在线性变换下状态方程的特性 •系统转移函数阵在线性变换下是不变的 •A矩阵的对角化 •由状态方程判断系统的稳定性

序言 从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同 的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变 换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同 的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形 式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态 矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于 简化系统分析是很有用的。 合UDI

X 第 2 序言 页 从状态变量的选择看出，同一系统可以选择不同 的状态变量，但所选每种状态变量相互之间存在着变 换关系。它可以看作同一系统在状态空间中取了不同 的基底，而状态矢量用不同基底表示时具有不同的形 式，因此，对同一系统而言，以各种形式表示的状态 矢量之间存在着线性变换关系。这种线性变换，对于 简化系统分析是很有用的

在线性变换下状态方程的特俓 按线性空间不同基底镀换关系，设一组状变量) 与另一组状态变量之间有 Y1=p11+P122+.+P1kx 矢量形式 Y2=p211+p22乙2+.+p2k4 y=pi 线性变换 Yk=Pk1+Pk2乙2+.+PM 其中y和，为列矢量 P\k

X 第 3 一．在线性变换下状态方程的特性 页 与另一组状态变量 之间有 按线性空间不同基底的变换关系，设一组状态变 量 γ λ        = + + + = + + + = + + + k k k kk k k k k k p p p p p p p p p                 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 矢量形式 γ = pλ             = k     2 1 γ             = k    2 1 λ             = k k kk k k p p p p p p p p p       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 P 其中γ 和λ 为列矢量 λ ⎯⎯ ⎯→γ 线性变换

系数间的关系 设原基底下状态方程表示为 品2-eab 经变换后 P04P70:80 原矩阵系数A,B,C,D 新矩阵系数A,B,C,D 或 )()B) y()=Ca(t)+De()=CP-y()+De(t)=Cy (t)+De(t) 系数间的关系 A=PAP 题 B=PB C=CP- D=D

X 第 4 系数间的关系 页 设原基底下状态方程表示为 (t) (t) e(t) t λ = Aλ + B d d 经变换后 (t) (t) e(t) t P γ = AP γ + B −1 −1 d d 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = + = + = + = + = + − − y t t e t t e t t e t t t e t t e t t Cλ D CP γ D Cγ D γ PAP γ PB Aγ B ˆ ˆ ˆ ˆ d d 1 1        = = = = − − D D C CP B PB A PAP 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ A,B,C,D A,B,C,D ˆ ˆ ˆ ˆ 新矩阵系数 原矩阵系数 系数间的关系

二. 系统转移函数阵在线性变换下是不变的 从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而 系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量 用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此 对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是 不变的： S)=Cs-A'B+D=C(s-A'B+D证明 上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性 结论同样适用于离散系统

X 第 5 二．系统转移函数阵在线性变换下是不变的页 从本质上讲状态方程式描述系统的一种方法，而 系统转移函数是描述系统的另一种方法。当状态矢量 用不同基底表示时，并不影响系统的物理本质，因此 对同一系统不同状态变量的选择，系统转移函数应是 不变的： H( ) = C( I − A) B + D = C( I − A) B + D − − 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ s s s 上式以连续系统为例说明状态矢量线性变换的特性， 结论同样适用于离散系统

三.A矩阵的对角化 在线性变换中，使4阵的对角化是很有用的变换。 A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。 这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可 以独立研究系统参数对状态变量的影响。 在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上 就是以4矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩 阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量， 以次构作变换阵P,即可把状态变量相互之间分离开。 刨题

X 第 6 三．A矩阵的对角化 页 在线性变换中，使A阵的对角化是很有用的变换。 A矩阵的对角化，说明系统结构变换成并联结构形式。 这种结构形式的每一状态变量之间互不影响，因而可 以独立研究系统参数对状态变量的影响。 在线性代数中已经分析了A矩阵的对角化。实际上 就是以A矩阵的特征矢量作为基底的变换。因而把A矩 阵对角化所需要的线性变换就是寻求A矩阵的特征矢量， 以次构作变换阵P，即可把状态变量相互之间分离开

四.由状态方程判断系统的稳定侄 用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数 由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状 态方程，则由4阵的对角化分析可知，A矩阵对角化 后其对角元素是4矩阵的特征值，特征值决定了系统 的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断 系统的稳定情况。 •连续系统稳定性的判断 •离散系统稳定性的判断

X 第 7 四．由状态方程判断系统的稳定性 页 用系统转移函数来描述系统时，系统的转移函数 由转移函数的分母特征根位置来定出。如果给定为状 态方程，则由A阵的对角化分析可知，A矩阵对角化 后其对角元素是A矩阵的特征值，特征值决定了系统 的自由运动情况。因此可根据A矩阵的特征值来判断 系统的稳定情况。 •连续系统稳定性的判断 •离散系统稳定性的判断

连续系统稳定性的判断 稳定系统：A的特征值Re[a,]<0 这需要解方程 al-A=0 转移函数分母的特征多项式 sI-A=0 此方程的根在、平面上的位置决定了系统的稳定情况， 当根落在σ平面的左半平面，可确定系统为稳定的。 倒题

X 第 8 连续系统稳定性的判断 页 Re  0 稳定系统：A的特征值 i 这需要解方程 aI − A = 0 转移函数分母的特征多项式 sI − A = 0 此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况， 当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的

离散系统稳定性的判断 对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值 即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似， A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根 位置相同，所以他们的判定准则也相同。 例题 合UN

X 第 9 离散系统稳定性的判断 页 ai 1 即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似， A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根 位置相同，所以他们的判定准则也相同。 对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值