华东师范大学：《计算机应用基础》课程教学资源（课件讲稿）第七讲 多项式运算与代数方程求解

数学软件Matlab 多项式运算 代数方程求解 1

1 数学软件 Matlab —— 多项式运算 —— 代数方程求解

内容提要 ■多项式运算 ●多项式转化为符号表达式：poly2sym ●四则运算：conv、deconv ●导数与积分：ployder、polyint ●求值与零点：polyval、polyvalm、roots、poly ■代数方程求解 ●线性方程组数值求解：1 insolve ●非线性方程数值求解：fzero ●非线性方程符号求解：solve 2

2  多项式转化为符号表达式：poly2sym  四则运算：conv、deconv  导数与积分：ployder、polyint  求值与零点：polyval、polyvalm、roots、poly  多项式运算 内容提要  代数方程求解  线性方程组数值求解：linsolve  非线性方程数值求解：fzero  非线性方程符号求解：solve

多项式表示方法 ●Matlab中多项式的表示方法 ●在Matlab中，n次多项式用一个长度为n+1的向量来表示 p(x)=an”+an-1x"-+…+4,X+40 在Matlab中表示为向量：0n,n-1,·,41,] 例：2x3-x2+3←→[2，-1,0,3] 注：系数中的零不能省！ ●多项式与符号表达式的互化：po1y2sym,sym2poly 例：po1y2sym([2,-1,0,3]) 3

3 多项式表示方法  在 Matlab 中，n 次多项式用一个长度为 n+1的向量来表示 1 1 10 ( ) n n n n p x ax a x ax a − = + ++ + −  在 Matlab中表示为向量： 1 10 [ , , , , ] n n aa aa −  注：系数中的零不能省！ 例： 2x3 - x2 + 3 [2, -1, 0, 3]  Matlab 中多项式的表示方法  多项式与符号表达式的互化：poly2sym, sym2poly 例： poly2sym([2,-1,0,3])

多项式加减 ● 多项式加减运算 Matlab没有提供专门进行多项式加减运算的函数 多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算 ●次数相同的多项式，可直接对其系数向量进行加减运算 ●如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系数 不足的高次项用0补足，然后再进行加减运算 例： 卫1=2x3-x2 +3 [2,-1,0,3] P2= 2x+1 [0,0,2,1 p1+p2=2x3-x2+2x+4← [2,-1,2,4] 4

4 多项式加减  Matlab 没有提供专门进行多项式加减运算的函数  多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算  次数相同的多项式，可直接对其系数向量进行加减运算  如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系数 不足的高次项用 0 补足，然后再进行加减运算 例： p1 = 2x3 - x2 + 3 p2 = 2x + 1 p1 + p2 = 2x3 - x2 + 2x + 4 [2, -1, 0, 3] [2, 1] [0, 0, 2, 1] [2, -1, 2, 4]  多项式加减运算

多项式乘除 ●多项式乘法运算： k=conv(p,q) 例：计算多项式2x3-x2+3和2x+1的乘积 p=[2,-1,0,3] q=[2,1]; k=conv(p,q) ●多项式除法运算： [k,r]=deconv(p,q) ●其中k返回的是多项式p除以q的商，下是余式 [k,r]=deconv(p,q) p=conv(q,k)+r

5 多项式乘除 k=conv(p,q) 例：计算多项式 2x3 - x2 + 3 和 2x + 1 的乘积 p=[2,-1,0,3]; q=[2,1]; k=conv(p,q)  多项式除法运算： [k,r]=deconv(p,q)  其中 k 返回的是多项式 p 除以 q 的商，r 是余式 [k,r]=deconv(p,q) p=conv(q,k)+r  多项式乘法运算：

多项式求导 ● 多项式求导：polyder k=polyder(p) 多项式p的导数 k=polyder(p,q) p*q的导数 [k,d]=polyder(p,q) p/q的导数，k是分子，d是分母 例：已知p1x)=2x-x2+3,p2)=2x+1 求：P1',(p1P2)',（p1/P2) k1=po1yder([2,-1,0,3]); k2=po1yder([2,-1,0,3],[2,1]); [k3,d]=po1yder([2,-1,0,3],[2,1]); 6

6 多项式求导 k1=polyder([2,-1,0,3]); k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); [k3,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); 例：已知 p1(x) = 2x3 - x2 + 3，p2(x) = 2x + 1 求： p1 ’ ，( p1 p2 )’ ， ( p1 /p2 )’  多项式求导： polyder k=polyder(p) 多项式 p 的导数 k=polyder(p,q) p*q 的导数 [k,d]=polyder(p,q) p/q 的导数，k 是分子，d 是分母

多项式积分 ● 多项式积分：polyint I=polyint(p,c) 不定积分，常数项取c I=polyint(p) 不定积分，常数项取日 例：已知p(x)=2x3-x2+3 求∫p(x)dr，常数项取5 I=po1yint([2,-1,0,3],5);

7 多项式积分  多项式积分： polyint I=polyint(p,c) 不定积分，常数项取 c I=polyint(p) 不定积分，常数项取 0 I=polyint([2,-1,0,3],5); 例：已知 p(x) = 2x3 - x2 + 3 求 px x ( ) d ，常数项取 5 ∫

多项式求值 ●多项式求值：polyval y=polyval(p,x) 计算多项式p在x点的值 ●这里的x可以是向量或矩阵，此时采用的是数组运算！ 例：已知px)=2x3-x2+3,计算p在x和y的每个分量上 的值，其中=2，Jy=[-1,2;-2,1] p=[2,-1,0,3] X=2; y=[-1,2;-2,1]; z1=polyval(p,x) z2=polyval(p,y) 8

8 多项式求值  多项式求值： polyval y=polyval(p,x) 计算多项式 p 在 x 点的值  这里的 x 可以是向量或矩阵，此时采用的是数组运算！ p=[2,-1,0,3]; x=2; y=[-1, 2; -2,1]; z1=polyval(p,x) z2=polyval(p,y) 例：已知 p(x) = 2x3 - x2 + 3，计算 p 在 x 和 y 的每个分量上 的值，其中 x=2, y=[-1,2; -2,1]

矩阵多项式求值 ● 矩阵多项式求值： polyvalm Y=polyvalm(p,A) 计算多项式p作用在矩阵A上的值 ●这里的A必须是方阵，采用的是普通矩阵运算！ 例：已知p(c)=2x3-x2+3,则 polyvalm(p,A)=2*A*A*A -A*A+3*eye(size(A)) polyval(p,A)=2*A.*A.*A-A.*A+3*ones(size(A)) p=[1,0,0];%p(x)=x2 x=[1,2;3,4] y1=polyval(p,x) y2=polyvalm(p,x) 9

9 矩阵多项式求值  矩阵多项式求值： polyvalm Y=polyvalm(p,A) 计算多项式 p 作用在矩阵 A 上的值  这里的 A 必须是方阵，采用的是普通矩阵运算！ 例：已知 p(x) = 2x3 - x2 + 3 ，则 polyvalm(p,A)=2*A*A*A - A*A + 3*eye(size(A)) polyval(p,A) = 2*A.*A.*A - A.*A + 3*ones(size(A)) p=[1,0,0]; % p(x)=x2 x=[1, 2; 3, 4]; y1=polyval(p,x) y2=polyvalm(p,x)

多项式的零点 ● 多项式的零点： roots x=roots(p) 计算多项式p的所有零点 ●这里的x是由p的所有零点组成的向量 例：已知p)=2x3-x2+3,求p)的零点 p=[2,-1,0,3]; x=roots(p) ·若已知多项式的全部零点，则可用poy函数给出该多项式 p=poly(x) p(x)=(x-x)(x-x2).(x-x) 10

10 多项式的零点  多项式的零点： roots x=roots(p) 计算多项式 p 的所有零点  这里的 x 是由 p 的所有零点组成的向量 例：已知 p(x) = 2x3 - x2 + 3 ，求 p(x) 的零点 p=[2,-1,0,3]; x=roots(p) 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n px x x x x x x =− − −   若已知多项式的全部零点，则可用 poly 函数给出该多项式 p=poly(x)