上海交通大学：《大学物理教程》课程电子教案（课件讲稿）第22章 量子力学基础 22.4 薛定谔方程

第22章量子力学基础 §22.1实物粒子的波动性 §22.2波函数及统计解释 §22.3不确定性关系 §22.4薛定谔方程 §22.5力学量算符的本征值问题 §22.6薛定谔方程的应用 §22.7氢原子量子理论 §22.8电子的自旋泡利不相容原理

§22.1 实物粒子的波动性 §22.2 波函数及统计解释 §22.3 不确定性关系 §22.4 薛定谔方程 §22.6 薛定谔方程的应用 §22.5 力学量算符的本征值问题 §22.7 氢原子量子理论 §22.8 电子的自旋 泡利不相容原理 第 22 章 量子力学基础

§22.4薛定谔方程 按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程： V2 V为波速 ∂t2 物质波的波动方程是什么？ 德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后， 德拜(P.Debye,The Nobel Prize in Chemistry 1936)说，“一个没有波动方程的波动理论太肤浅 了！”。当时年轻的薛定谔在场。在一周后聚会 时薛定谔说：“我找到了一个波动方程！”。一 量子力学中的基本动力学方程

按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形 式的波动方程： §22.4 薛定谔方程 2 2 2 2 2 x y V t y ∂ ∂ = ∂ ∂ V为波速 物质波的波动方程是什么？ 德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后， 德拜(P.Debye ，The Nobel Prize in Chemistry 1936)说， “一个没有波动方程的波动理论太肤浅 了！ ”。当时年轻的薛定谔在场。在一周后聚会 时薛定谔说： “我找到了一个波动方程！ ” 。—— 量子力学中的基本动力学方程

一、薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 (x.t)Woe() 对波函数微分得 日Ψ(x,t) EΨ(x,t) a 杭 ih Ψ(x,t) =EΨ(x,t) at 龙≡访 a 一能量算符 8t

一、薛定谔方程的建立 自由粒子波函数 对波函数微分得 ),( i),( txE t tx Ψ Ψ h = － ∂ ∂ )( i 0 e),( Etxp x tx − = Ψ ψ h t E ∂ ∂ ≡ i h ˆ —能量算符 ),( ),( i txE t tx Ψ Ψ = ∂ ∂ h

OΨ(x,t)=iDx平(x,t) Ex ih aΨ(x,t)=px平(x,t) x a p.三-ih 动量算符 x

),(i ),( tx p x tx x Ψ Ψ h = ∂ ∂ x px ∂ ∂ ˆ −≡ i h ),( ),( i txp x tx x Ψ Ψ − = ∂ ∂ h ——动量算符

由 E= P& 和 2m 02Ψ(x,t) Ex 2 -202 2ma(x小=Ey(x,） =h平(x,t) 方2∂2 2m0x2 Ψ(x,) 自由粒子的薛定谔方程

),( ),(),( 2 2 2 2 tx t i txEtx m x Ψ Ψ Ψ ∂ ∂ ∂ ∂ h h = − = ——自由粒子的薛定谔方程 ),( 2 ),(i 2 22 tx m x tx t Ψ Ψ ∂ ∂ −= ∂ ∂ h h ),( ),( 2 2 2 2 tx p x tx x Ψ ∂ Ψ∂ h −= 由 m p E x 2 2 ＝ 和

·把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒子 所处的势场为Ux,),粒子的能量 =Pi+U(x,t) 2 E 2m 薛定谔方程变为 ih平(x,t)=E平Ψ(x,) h'0 2ma+V(x,0小9r(x,t）

txEtx ),(),(i t Ψ = Ψ ∂ ∂ h • 把自由粒子运动算符推广到非自由粒子运动，粒子 所处的势场为 U(x , t)，粒子的能量 ),( 2 2 txU m p E x ＝ + 薛定谔方程变为 ,()],( ) 2 [ 2 2 2 txtxU m x Ψ ∂ ∂ +−= h

令 i= h22 2m +U(x,t) 称为哈密顿算符，则 品G0=96 这就是含时薛定谔方程 ·推广到三维势场U(了，)中 B=+(F) 2m

——这就是含时薛定谔方程 ),( 2 ˆ 2 2 2 txU m x H +−= ∂ h ∂ 称为哈密顿算符，则 令 • 推广到三维势场U( r, t) 中 ),( 2 222 trU m ppp E zyx v + ++ ＝ ),( ˆ ),(i trHtr t r r h Ψ = Ψ ∂ ∂

2 )2 、2 2m 2)+U(r,) 令 -j+ 0x de 2 哈密顿算符变为 月=-v2+U(行，0 2m 薛定谔方程形式不变 i访Ψ（匠，）=平G,)

k z j y i x r r r ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 令 =∇ 薛定谔方程形式不变 哈密顿算符变为 ( ),() 2 ˆ 2 2 2 2 2 2 2 U tr xm zy H h v −= ++ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ),( 2 ˆ 2 2 U tr m H h v −= ∇ + ),( ˆ ),(i trHtr t r r h Ψ = Ψ ∂ ∂

说明： 薛定谔方程不是 推导出来的，而 是依据实验事实 和基本假定“建 立”的，是否正 确则由实验结果 检验。 薛定谔方程 薛定谔(Schrodinger 描述非相对论实 1887-1961) 物粒子在势场中 的状态随时间的 奥地利物理学家，提出量子 变化，反映了微 力学最基本的方程。 观粒子的运动规 1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。 律

薛定谔方程不是 推导出来的，而 是依据实验事实 和基本假定“建 立”的，是否正 确则由实验结果 检验。 薛定谔方程—— 描述非相对论实 物粒子在势场中 的状态随时间的 变化，反映了微 观粒子的运动规 律。 说明： 薛定谔（Schrödinger 1887—1961） 1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。 奥地利物理学家，提出量子 力学最基本的方程

二、定态薛定谔方程 若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数U与时间无 关，称这类问题为定态问题。 例如：自由运动粒子 Ur)=0 氢原子中的电子 U)=- 1e2 π60r 此时，哈密顿算符与时间无关，薛定谔方程可用分离 变量法求解：波函数平可以分离为空间坐标函数和 时间函数的乘积

二、定态薛定谔方程 若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数 U与时间无 关，称这类问题为定态问题 。 自由运动粒子 ( ) r e rU 2 π 0 4 1 ε −= 例如： ( )rU = 0 氢原子中的电子 此时，哈密顿算符与时间无关，薛定谔方程可用分离 变量法求解：波函数 Ψ 可以分离为空间坐标函数和 时间函数的乘积