上海交通大学：《大学物理教程》课程电子教案（课件讲稿）第22章 量子力学基础 22.6 薛定谔方程的应用

第22章量子力学基础 §22.1实物粒子的波动性 §22.2波函数及统计解释 §22.3不确定性关系 §22.4薛定谔方程 §22.5力学量算符的本征值问题 §22.6薛定谔方程的应用 §22.7氢原子量子理论 §22.8电子的自旋泡利不相容原理

§22.1 实物粒子的波动性 §22.2 波函数及统计解释 §22.3 不确定性关系 §22.4 薛定谔方程 §22.6 薛定谔方程的应用 §22.5 力学量算符的本征值问题 §22.7 氢原子量子理论 §22.8 电子的自旋 泡利不相容原理 第 22 章 量子力学基础

§22.6薛定谔方程的应用 步骤： ·确定粒子的哈密顿量； ·在全空间写出粒子的能量本征方程； ·利用波函数的自然条件确定能量本征值和波函 数。 处理的问题： ·势阱中的粒子—粒子被束缚在某势场中； ·势垒对粒子的散射一自由粒子入射到某势场中

§22.6 薛定谔方程的应用 • 确定粒子的哈密顿量； 步骤： • 在全空间写出粒子的能量本征方程； • 利用波函数的自然条件确定能量本征值和波函 数。 处理的问题： • 势阱中的粒子——粒子被束缚在某势场中； • 势垒对粒子的散射——自由粒子入射到某势场中

一、一维无限深势阱中的粒子 金属中的电子由于金属表面势 能（势垒）的束缚被限制在一 个有限的空间范围内运动。 如果金属表面势垒很高，可以 V(x) 将金属表面看为一刚性盒子。 如果只考虑一维运动，就是一 维刚性盒子。势能函数为： 0(0≤x≤L) V=0 V(x)= o(xL) L 无限深方势阱 称为一维无限深方势阱

一、一维无限深势阱中的粒子 金属中的电子由于金属表面势 能（势垒）的束缚被限制在一 个有限的空间范围内运动。 称为一维无限深方势阱。 -e -e -e -e -e -e -e 如果金属表面势垒很高，可以 将金属表面看为一刚性盒子。 如果只考虑一维运动，就是一 维刚性盒子。势能函数为： ∞ V = 0 ∞ V(x ) x 无限深方势阱 0 L ⎩ ⎨ ⎧ ><∞ ≤≤ = ) ,0( )0( 0 )( Lxx Lx xV

·在势阱内，定态薛定谔方程 2mdx2 (x)=E(x) :V(x) 令 k2=2mE 得 h2 d9+k2=0 V=0 dx2 0 X 解为： 无限深方势阱 Φ(x)=Csin(kc+δ) (1) 待定常数C和8解由波函数的自然条件确定

• 在势阱内，定态薛定谔方程 令 2 2 2hmE k = 得 解为： 待定常数C 和δ解由波函数的自然条件确定。 )()( dd 2 2 i i 22 Φ x Φ xE xm − h = 0 d d i 2 2 i 2 k Φ =+ x Φ Φi = kxCx +δ 1 )sin()( ）（ ∞ V = 0 ∞ V(x) x 无限深方势阱 0 L

·在势阱外，定态薛定谔方程 该方程的解只能是： 少.(x)≡0 (2) ·波函数在阱壁上的连续条件、本征能量 Φ(0)=Φ.(0)=0 (3) Φ(L)=Φ.(L)=0 (4)

• 波函数在阱壁上的连续条件、本征能量 该方程的解只能是： Φe x ≡ 2 0)( ）（ • 在势阱外，定态薛定谔方程 Φi =Φe = 3 0)0()0( ）（ Φi =Φe LL = 4 0)()( ）（ )()( dd 2 2 e e 22 xEx xm ⎟⎟ = ΦΦ⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∞+− h

由式（3)可得 Csinδ=0 8=0 由式(4)可得 C sin kL=0→kL=nπ n元 k= n=1,2,. L 思考：为什么n不取零和负整数？ 粒子的能量： π2h2 E= k2=2E 2m 其中E1= 2ml

由式（3）可得 由式（4）可得 δ = 0 = nkL π n = ,....2,1 思考：为什么n不取零和负整数？ L n k π = 粒子的能量： 1 2 22 2 En m k E == h 2 22 1 2 π mL E h 其中 = C δ = 0sin kLC = 0sin

能量取分立值（能级)，能量是 量子化的。 9E 3 能量间隔为： 4E, △E=Em1-En=(2n+1)E 2 n=1 E n个，△E↓ 能级增大，能级 间隔递增 L个，△E 阱变宽，能级 间隔下降 m个，△E↓ 大质量粒子的 L很大或m很大， 能级间隔小 能级几乎连续

能量取分立值（能级），能量是 量子化的。 1 1 Δ = + − nn = + )12( EnEEE n = 1 3 2 E1 9 E1 4 E1 能量间隔为： , EL ↓Δ↑ , Em ↓Δ↑ 能级增大,能级 间隔递增 , En ↓Δ↑ 阱变宽,能级 间隔下降 大质量粒子的 能级间隔小 L 很大或 m 很大， 能级几乎连续

元2h2 最低能量（零点能） 一波动性 2ml ·势阱中粒子的动量和波长 2n 元 πh pn=±V2mEm=±n πL h 2L n= Pn n 说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于 德布罗意波的一个特定波长的驻波

最低能量(零点能) — 波动性 2 22 1 2 π mL E h = L h n L p n n nmE 2 π ππ 2 ±=±=±= h n L p h n n 2 λ == 说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于 德布罗意波的一个特定波长的驻波。 • 势阱中粒子的动量和波长

·归一化常数C和定态波函数 ∫p(x)dr=D(x)fdx=l ofdx-csn'td-1 ◆C= 2 定态波函数为 E n元 sin x> 0≤x≤L 0 0>x,x>L

L C 2 = 定态波函数为 • 归一化常数C和定态波函数 1d)(d)( 2 = = ∫∫ +∞∞− +∞∞− ρ Φ xxxx 1d π d)( sin 0 22 2 = = ∫∫ +∞∞− L x Lxn Φ Cxx ⎪⎩ ⎪⎨⎧ >> ≤≤ = Lxx x Lx L n L Φ x ,0 ,0 0 , π sin 2 )(

粒子在阱内的波函数为 光(x.D=apxe1=Si -Et sin kone

粒子在阱内的波函数为 Et kxkx e L h i ii )ee( 2 i2 1 − − = − e[ ]e 2 i2 1 )( i )( i pxEt pxEt L +−−− = − h h Et Et kx L xtx h h i i i esin 2 e)(),( − − Ψ = Φ =