厦门大学数学科学学院：《高等代数》课程教学资源（基础训练）线性变换（答案）

线性变换 00C2…C 0-30 03-3 3102 0100 0020 0003 0000 6{:aka,a∈V,k≠0} 1 B 2A 3 C 4 B 5C 6 1(1)不是线性变换 (2)是线性变换3)不是线性变换 2(1)正确 证明:设a1C2…a,是一组线性相关的向量组则存在不全为零的数 K1K2…K使K;C1+…+K:C2=0 因此T(k K,a)=0 得:K17(a1)+…+KT(a,)=0 因为K1…K,不全为零.所以7(),…T(a)线性相关 (2)不正确 例如:a1a2线性无关,T(x)=07(a)=0

线性变换 一 1 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Í Î È C C C C C C C C C n n n n n K K K K K K K K K 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 1 2 1 1 0 0 2 0 1 2 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - 0  3  2  0  3  0  3  3  2  3  0  2  0  3  2  0  3 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - 1 2 1 1 0 2 2 1 1 4 c  c 3 2 + 5 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È 0  0  0  0  0  0  0  3  0  0  2  0  0  1  0  0  6 {s :a a ka,a ŒV,k ¹ 0 } 二 1  B 2  A 3 C 4  B 5  C 6  三 1  （1）不是线性变换 （2）是线性变换 （3） 不是线性变换 2  （1）正确 证 明： 设 a a as ,  ,  1 2K 是一 组线 性相关 的向量 组 .则存 在不 全为零 的数 k k k s ,  ,  ,  1 2 K 使 0 1 1 k a + + k a = L s  s  因此 ( ) 0 1 1 k a + + k a = s  s  T  L 得:  ( ) ( ) 0 1 1 k a + + k a = s  s  T  L T  .  因为k k s , ,  1 K 不全为零.  所以 ( ),  ,  ( ) a1 as  T  K T  线性相关.  (2) 不正确.  例如: a1 a2 ,  线性无关, ( ) 0,  ( ) 0 1 2 T a = T a =

显然T(a)7()线性相关 3解设T:→V的线性变换,e1e2…en为V的一组基 r(e…,e)=(e…,e) f…f为V的任意一组向量,2…en}到Vf…f} 的过渡 矩阵为P则7(f…=e

显然 (a ) (a ) 1 2 T  ， T  线性相关.  3  解:设T :V Æ V 的线性变换, e  e  e n ,  ,  ,  1 2 K 为V 的一组基, T (e  e ) (e  e )A  n n ,  ,  ,  ,  1 K = 1 K f  f  s , , 1 K 为 V 的任意一组向量, {e  e }n , ,  1 K 到 {f  f  }s , , 1 K 的过渡 矩阵为 P,  则 T ( f  f  ) (e e )PA s n , , , , 1 K = 1 K