中国科学技术大学：《光学与原子物理》课程授课教案（原子物理学）第三章 单电子原子 3.1 用薛定谔方程求解氢原子 3.2 跃迁的选择定则

第三章单电子原子 3.1用薛定谔方程求解氢原子 3.2跃迁的选择定则 3.3电子自旋 3.4自旋和轨道相互作用 3.5单电子原子的精细结构

第三章 单电子原子 3.1 用薛定谔方程求解氢原子 3.2 跃迁的选择定则 3.3 电子自旋 3.4 自旋和轨道相互作用 3.5 单电子原子的精细结构

§3.1用薛定谔方程求解氢原子 库仑势 V)=- Ze2 i=- V2、 Ze2 4π1 2m 4π8o' V2Ψ- Ψ=EΨ V2Ψ 2m 4π8r 2 Ψ=0 2m(E+46 球坐标系v2= 1a o2 分离变量 Ψ(r,0,p)=R(r)Y(0,p) Q R O'Y 2mr2 dr sin 000 EI RY-0 方2 1 2mr2 1∂2Y R dr 29

§3.1 用薛定谔方程求解氢原子 • 库仑势 2 0 ( ) 4 Ze V r  r   2 2 2 0 ˆ 2 4 Ze H m r      2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r r r r r r                       ( , , ) ( ) ( , ) r R r Y     2 2 2 0 2 ( ) 0 4 m Ze E  r       2 2 2 0 2 4 Ze E m r         2 2 2 2 2 2 2 0 d d 2 ( ) (sin ) [ ] 0 d d sin sin 4 R R Y R Y mr Ze r Y E RY r r r                   2 2 2 2 2 2 2 0 1 d d 2 1 1 1 ( ) [ ] [ (sin ) ] d d 4 sin sin R mr Ze Y Y r E R r r r Y                   分离变量 球坐标系

Z x

x y z   r 

R dr R dr Y(0,p)=⊙(0)Φ(p) (sinod-11d'Φ de Φsin0do2 sinθd (sin +sin20=- 1d2Φ ⊙d0 do 本d0 sine d 1d2Φ ⊙d m0912sm0r Φdo2

2 2 2 2 0 1 d d 2 ( ) [ ] d d 4 R mr Ze r E R r r r      2 2 2 1 1 1 [ (sin ) ] sin sin Y Y Y                 2 2 2 2 0 1 d d 2 ( ) ( ) 0 d d 4 R mr Ze r E R r r r       Y( , ) ( ) ( )        2 2 2 1 1 d d 1 1 d (sin ) sin d d sin d               2 2 2 sin d d 1 d (sin ) sin d d d               sin d d 2 (sin ) sin d d            2 2 1 d d      

1d2Φ d2Φ +Φ=0 Φdo2 do2 Φ(p)=Aeo Φ(p+2π)=Φ(p) eivw(o+2m）=etitvp etivv2r =1 vv=m ④(p)=Aemo m=0,±1，+2，… AedoAdo=274=1 A=N2元 枣

2 2 d 0 d       ( ) e i A           ( 2 ) ( )    ( 2 ) e e    i i      2 1 i e       m ( ) im Ae     2 2 2 2 2 0 0 | | d d 2 1 im Ae A A           1 2 A   1 ( ) e 2 im m      2 2 1 d d       m    0, 1, 2

sine d (sin +isin20=v v=m do 1 d sine do m09+-9-0 只有当2=1+) 为整数 且1≥ml 上述方程有解⊙n(O=BP(cos0)享 其中l-炉g-维台Legndre的数 du Yn(8,p)=⊙nm(O)Φm(p)=NmP(cos0)em 对于每一个l,m=-1,-1+1,…,-1,0,1,…1-1,1 Nm=V(1-|m)(2I+1)/4π(I+|mD月 归一化因子

2 2 1 d d (sin ) ( ) 0 sin d d sin m               l l( 1) 且l m | | ( ) (cos ) m   lm l   BP l为整数 对于每一个l m l l l l ，       , 1, , 1,0,1, 1, | | | | 2 2 2 | | 2 1 d ( ) (1 ) ( 1) 2 ! d m l m m l l m l P u u u l u      缔合Legendre函数 ( , ) ( ) ( ) Ylm lm m        ( | |)!(2 1) / 4 ( | |)! N l m l l m lm      归一化因子 sin d d 2 (sin ) sin d d              m 只有当 上述方程有解 其中 (cos ) m im N P e lm l   

Ynm(0,p)=⊙nm(O)Φm(p) 球谐函数 的号m0易动忘-0：

2 2 2 1 1 1 [ (sin ) ] sin sin lm lm lm Y Y Y                 2 2 2 2 2 1 1 [ (sin ) ] ( 1) sin sin  Y l l Y lm lm                ( , ) ( ) ( ) Ylm lm m        球谐函数    l l( 1)

20》-0 、 R dr 方 r竖”=0 参量代换 R）=20p=2Z2m，n=2m Ze n= 2hVE4πE 该方程总有解，能量E可以取任意正值，非量子化 F<有2+片-0=0

2 2 2 2 0 1 d d 2 ( ) ( ) ( 1) 0 d d 4 R mr Ze r E l l R r r r       2 2 2 2 2 0 1 d d 2 ( 1) ( ) [ ( ) ] 0 d d 4 R m Ze l l r E R r r r r r       ( ) ( ) r R r r   2 2 | | Z m E   r 2 0 2 2 | | 4 m Ze n E   2 2 2 d ( ) 1 ( 1) 0, { } ( ) 0 d 4 n l l E              有 2 2 2 d ( ) 1 ( 1) 0, { } ( ) 0 d 4 n l l E              有 参量代换 该方程总有解，能量E可以取任意正值，非量子化

2+片&x0=0 do? 只有n=1,2,3.·且对于每一个n,1=0,1,2…n-1 ◆有解R(p)=Cmp'e2L(p)缔合Laguerre多项式 2Zme2 2Zr P=P,= C=2+ n4πh na na,2n[(n+)] n--】 L'(p)=∑(-1) [(n+I)]2p k=0 (n-1-1-k)(21+1+k)！k! +平wm(r,B,p)=R(r)en(O)Φn(p) n,l,m是量子数，为本征态的标志

2 2 1 ( ) e ( ) l l R C L nl nl n l         缔合Laguerre多项式 1 2 2 1 1 0 [( )!] ( ) ( 1) ( 1 )!(2 1 )! ! n l k l k n l k n l L n l k l k k                  只有n 1,2,3 且对于每一个n l n , 0,1,2 1   ( , , ) ( ) ( ) ( ) nlm nl lm m     r R r     n，l，m是量子数，为本征态的标志 1 3 2 3 1 2 [ ( 1)]! {( ) } 2 [( )!] nl Z n l C na n n l      2 2 2 d ( ) 1 ( 1) { } ( ) 0 d 4   n l l           有解 2 0 1 2 2 4 n Zme Zr r n na      

·对解的讨论 Ψnm(r,O,p)=Rnu(r)Om(O)Φm(p) 平m,平，mdV=ΨwnΨwmr2sin0 drdOdp 在(r,O,0)处体积元dV内发现电子的几率 2π [ΨmΨsined0dp]r2dr=PRr2dr 在r口"+d球壳（壳层）内发现电子的几率 [n平nm平namr2dr]小sin@dOdp=Ynim Y,sineded 在角度（θ，0）内发现电子的几率

• 对解的讨论 ( , , ) ( ) ( ) ( ) nlm nl lm m     r R r     x y z   r  2 d sin d d d nlm nlm nlm nlm V r r           在（r V , ,  ）处体积元d 内发现电子的几率 2 2 0 0 [ sin d d ] d nlm nlm r r           在r r r d 球壳（壳层）内发现电子的几率 x y z r  2 d R R r r nl nl   2 0 [ d ]sin d d nlm nlmr r       sin d d Y Y nlm nlm    在角度（ , ）内发现电子的几率 x y z