青海民族大学：《热力学与统计物理学》课程电子教案（PPT教学课件）第七章 玻耳兹曼统计

热力学与统计物理学(七) 膏海民族大学电信系 李林 LILINqinghai06(@yahoo.com.cn

青海民族大学电信系 李林 LILIN qinghaili_06@yahoo.com.cn 热力学与统计物理学(七)

Start 第七章玻耳兹曼统计 习题课 分子配分函数的应用 分子配分函数 Boltzmann分布律 引言 青海民族大学电信系李林 第七章玻尔兹曼统计 2

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 2 引 言 第七章 玻耳兹曼统计 Boltzmann 分布律 分子配分函数 分子配分函数的应用 习题课 Start

引言 麦克斯韦-玻尔兹曼统计:是描述独立定域粒子体 系分布状况的统计规律. 独立定域粒子体系:是指体系中粒子间没有相互 作用,且各个不同粒子间可以相互区分 在量子力学中,只有定域分布粒子体系中的粒子, 是可以相互区分,称这种体系为独立定域粒子体系 在经典力学中,任何一个粒子的运动,都是严格符 合力学规律的,有确定的运动轨迹,可以相互区分. 青海民族大学电信系李林第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 3 引 言 麦克斯韦-玻尔兹曼统计:是描述独立定域粒子体 系分布状况的统计规律. 独立定域粒子体系: 是指体系中粒子间没有相互 作用,且各个不同粒子间可以相互区分. 在量子力学中,只有定域分布粒子体系中的粒子, 是可以相互区分,称这种体系为独立定域粒子体系. 在经典力学中,任何一个粒子的运动,都是严格符 合力学规律的,有确定的运动轨迹,可以相互区分

因此,所有经典粒子体系都是定域粒子体系.由于 量子统计在数学处理上的困难,在处理实际问题时, 引入一些近似条件,使费米狄拉克统计,玻色爱因 斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦玻尔兹曼统计. 在第六章中,得到近独立粒子最概然分布: 麦克斯韦一玻耳兹曼分布:a1= exp(a+ BeD 玻色一爱因斯坦分布:a1 exp(a+BE)-1 费米一狄喇克分布 exp(a+ Ba)+l

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 4 因此,所有经典粒子体系都是定域粒子体系.由于 量子统计在数学处理上的困难,在处理实际问题时, 引入一些近似条件,使费米-狄拉克统计,玻色-爱因 斯坦统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计. 麦克斯韦 — 玻耳兹曼分布: 玻 色 — 爱因斯坦分布: 费 米 — 狄 喇 克 分布: exp( ) l l l a     + = exp( + ) −1 = l l l a     exp( + ) +1 = l l l a     在第六章中,得到近独立粒子最概然分布:

如果在玻色系统,费米系统中,任一能级上的粒 子数a均远小于该能级的量子态数a,即, a1expa>1(经典极限条件) exp(a+ BE+l exp(a+ Ba) 玻色和费米分布→玻耳兹曼分布 [小结]定域系统和满足经典极限条件的玻色(费 米)系统皆遵从麦克斯韦-玻尔兹曼统计 根据麦克斯韦一玻尔兹曼分布讨论定域系统和满 足经典极限条件的玻色(费米)系统的热力学性质. 青海民族大学电信系李林第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 5 (经典极限条件) 玻色和费米分布 → 玻耳兹曼分布. 如果在玻色系统,费米系统中,任一能级 l 上的粒 子数al 均远小于该能级的量子态数l ,即, exp( ) 1 exp( ) l l l l l a         +  +   = al l →exp 1 [小结] 定域系统和满足经典极限条件的玻色(费 米)系统皆遵从麦克斯韦-玻尔兹曼统计. 根据麦克斯韦—玻尔兹曼分布讨论定域系统和满 足经典极限条件的玻色(费米)系统的热力学性质

S7.1热力学量的统计表达式 一玻耳兹曼分布与热力学量的联系 一.配分函数 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均 值.根据具有确定N,E和的系统分布所满足条件, ∑a=N,∑a11=E 系统的内能: U=∑a1=∑5ex(-a-Bs) 引入粒子配分函数z:z=∑ex(-BE) 青海民族大学电信系李林第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 6 一.配分函数 §7.1 热力学量的统计表达式 — 玻耳兹曼分布与热力学量的联系 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均 值.根据具有确定N,E和V的系统分布所满足条件, 系统的内能: 引入粒子配分函数Z: = − l Z l l  exp(   ) a N a E l l l l  l = ,   = = = − − l l l l l l l U  a   exp(    )

二.U与N的统计表达式 系统总粒子数N的统计表达式: N=∑a=∑ex-a-Bs) exp(-a)>,@, exp(Be)=exp(-a)Z 则,系统的内能: exp a/ exp(BE) exp a\ oB/7 exp(e) →内能统计表达式:U=-N a(n Z) Z aB B 青海民族大学电信系李林 第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 7 系统总粒子数N的统计表达式: 二.U与N 的统计表达式 Z N a l l l l l l l l exp( ) exp( ) exp( ) exp( )          = − − = − = = − −                  → = −           = −                   =  = −  (ln ) : exp exp( ) 1 exp exp( ) 1 Z Z U N Z N U U l l l l l l l 内能统计表达式 则,系统的内能:

三.广义力的统计表达式 系统在过程中通过功和热量与外界交换能量 dU=dw +dQ 如果Y表示与外参量y相对的外界对系统广义作用 力.而由于外参量y的改变,外界施于能级一个粒子的 力为, de 则,外界对系统的广义作用力的统计表达式为, Y=-Na(n 2) B Oy 青海民族大学电信系李林第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 8 三.广义力的统计表达式 系统在过程中通过功和热量与外界交换能量. 如果Y 表示与外参量y相对的外界对系统广义作用 力.而由于外参量y的改变,外界施于能级一个粒子的 力为, 则,外界对系统的广义作用力的统计表达式为, y N Z Y   = − (ln )  dU = dW + dQ y l  

Y=∑ aa aa ∑ oy exp(a+ Ba 1_1a) 0r exp a B Oy/ exp(Ba) = N10 n O(n Z) a+ Ba z B Oy B Oy 例:当系统在准静态过程中,体积变化为dV外界 对系统所作的功为W=pdV=Y时, p=-1 No(n Z)Oy-N O(n z) B) Oy O B OV 青海民族大学电信系李林 第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 9 例: 当系统在准静态过程中,体积变化为dV,外界 对系统所作的功为dW=-pdV=Ydy时, V N Z V y y N Z V y p Y   =             = − −   = − (ln ) (ln )   y N Z Z Z y N y y a y Y l l l l l l l l l l   = −           = −           = −          +  =          =    1 (ln ) exp( ) 1 exp 1 exp( )              exp( ) l l l a     + =

在无穷小准静态过程中,当外参量改变小时,外界 对系统所作功, cW=h,x、06 对内能U求全微分,得 dU=d∑ae)=∑ a,, +) Eda 内能改变:dU=∑a+∑Edn 粒子分布确定,由能级粒子能级确定,由分布 改变引起的内能变化.改变引起的内能变化 青海民族大学电信系李林第七章玻尔兹曼统计

青海民族大学电信系 李林 第七章 玻尔兹曼统计 10 在无穷小准静态过程中,当外参量改变dy时,外界 对系统所作功, 对内能U求全微分,得 = ( )= +l l l l l l l l l dU d a  a d  da  =   = = l l l l l l a a d y dW Ydy dy   粒子分布确定,由能级 改变引起的内能变化. 粒子能级确定,由分布 改变引起的内能变化. 内能改变: dU =  + l l l a d l l l  da