《自动控制理论》课程教学资源（教程讲稿）第八章 非线性系统分析

第八章非线性系统分析

第八章 非线性系统分析

预备知识 》分段函齦的欐念 函数的泰勒展开 傅立叶级数 》线性系统的稳定性分析

预备知识： 分段函数的概念 函数的泰勒展开 傅立叶级数 线性系统的稳定性分析

本章重点 》小范围线性近似法 》相平面梳念及相轨迹作图方法 浓线性控制系统的相平面分析 非线性坏节的描述涵数 非线性控制系统描述菡数分析

本章重点： 小范围线性近似法 相平面概念及相轨迹作图方法 非线性控制系统的相平面分析 非线性环节的描述函数 非线性控制系统描述函数分析

第一节非线性系统欐述 主要内 》非线性糸统与线性糸统比较 》非线性糸统数学模型 非线性糸统研究方法 典型非线性环节输入输出特性

第一节 非线性系统概述 主要内 容： 非线性系统与线性系统比较 非线性系统数学模型 非线性系统研究方法 典型非线性环节输入输出特性

1.非线性糸统与线性糸统的比较 1.齐次性和叠加定理:线性系统的最大特点是它具有可叠 加性和齐次性,但对于非线性系统,这个特点不再具有。 2.对输入信号的暂态响应来看,线性系统的动态性能与输 入信号无关,而非线性系统的动态性能则与输入信号有 关。同时,对非线性系统其输出可能产生畸变。 3线性系统稳定性仅与系统的结构和参数有关,而与系统 的初始状态和输入信号无关,而非线性系统的稳定性不仅 与系统的初始状态有关,也与系统的输入信号的类型和幅 值有关

1.非线性系统与线性系统的比较 1.齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠 加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。 2.对输入信号的暂态响应来看，线性系统的动态性能与输 入信号无关，而非线性系统的动态性能则与输入信号有 关。同时，对非线性系统其输出可能产生畸变。 3.线性系统稳定性仅与系统的结构和参数有关，而与系统 的初始状态和输入信号无关，而非线性系统的稳定性不仅 与系统的初始状态有关，也与系统的输入信号的类型和幅 值有关

4.在线性系统中,串联 对系统输出响应并没有 影响,而在非线性系统中,这可能会导致一个稳定的系统 变为不稳定,或使系统的输出发生根本性的变化, 5非线性系统常会产生持续振荡,即所谓自持荡;而线 性系统运动状态有两种:收敛和发散 6.非线性系统的运动方式比线性系统要复杂得多。从数学 角度来看,其解的存在性和唯一性都值得硏究。从控制的 角度来看,目前的研究方法虽很多,但没有系统性的和普 遍性的解决方案

4.在线性系统中，串联环节的互换对系统输出响应并没有 影响，而在非线性系统中，这可能会导致一个稳定的系统 变为不稳定，或使系统的输出发生根本性的变化， 5.非线性系统常会产生持续振荡，即所谓自持振荡；而线 性系统运动状态有两种：收敛和发散。 6. 非线性系统的运动方式比线性系统要复杂得多。从数学 角度来看，其解的存在性和唯一性都值得研究。从控制的 角度来看，目前的研究方法虽很多，但没有系统性的和普 遍性的解决方案

2.非线性糸统的数学模型 般非线性系统数学模型可用下式描述: F d"x(t)d"x(t) dx(t) d u(t) x(t ()=0 dt 或写成多变量的形式: X()=f(X￥(,U/(t),t)

2.非线性系统的数学模型 一般非线性系统数学模型可用下式描述： ,......, ( ) 0 ( ) , ( ), ( ) ,......, ( ) , ( ) 1 1 ⎥ =⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − u t dt d u t x t dt dx t dt d x t dt d x t m m n n n n F 或写成多变量的形式： X (t) = f (X (t),U(t),t) •

3.非线性糸统的研究方法 1.李雅普诺夫第二法:该方法适用于任何线性系统或非线 性系统的稳定性分析,通过构造合适的李雅普诺夫函数, 即能量函数,可分析系统的各类稳定性。 2.小范线性近似法:这是一种在平衡点的近似线性化方 法,通过在平衡点附近的泰勒展开,可将一个非线性微分 方程化为线性微分方程,然后按线性系统的理论进行处 理 3.描述函数法:是一种等效线性化方法。在一定的条件 下,用非线性元件的输出的基波分量作为在正弦信号输入 时系统的非正弦输出,从而应用奈奎斯特稳定性判据分析 系统的稳定性和自持振荡问题。但该近似方法的应用是有 一定条件的,否则所得结果没有价值

3.非线性系统的研究方法 1.李雅普诺夫第二法：该方法适用于任何线性系统或非线 性系统的稳定性分析，通过构造合适的李雅普诺夫函数， 即能量函数，可分析系统的各类稳定性。 2.小范围线性近似法：这是一种在平衡点的近似线性化方 法，通过在平衡点附近的泰勒展开，可将一个非线性微分 方程化为线性微分方程，然后按线性系统的理论进行处 理。 3.描述函数法：是一种等效线性化方法。在一定的条件 下，用非线性元件的输出的基波分量作为在正弦信号输入 时系统的非正弦输出，从而应用奈奎斯特稳定性判据分析 系统的稳定性和自持振荡问题。但该近似方法的应用是有 一定条件的，否则所得结果没有价值

4 :是一种图解法,仅 通过在X平面上绘制非线性系统的运动轨迹,可分析 系统的稳定性和一些动态性能。对于任意的二阶以下的非 线性系统均适用。 5计算机仿真:是研究复杂非线性系统的一种非常有效的 方法,但它只能给出特解,无法得到解析解,因此缺乏对 般非线性系统的指导意义。 本章仅介绍小范固线性近似法、相平面法 和描述函数法

4.相平面法：是一种图解法，仅适用于一阶或二阶系统。 通过在X— 平面上绘制非线性系统的运动轨迹，可分析 系统的稳定性和一些动态性能。对于任意的二阶以下的非 线性系统均适用。 5.计算机仿真：是研究复杂非线性系统的一种非常有效的 方法，但它只能给出特解，无法得到解析解，因此缺乏对 一般非线性系统的指导意义。 本章仅介绍小范围线性近似法、相平面法 和描述函数法

4.典型非线性环节输入输出特性 1死区特性 死区非线性特性的数学表 达式为 xl△

4.典型非线性环节输入输出特性 1.死区特性 死区非线性特性的数学表 达式为 0 ( sgn( )) x y k x x x ⎧ ∆ ⎩