《自动控制理论》课程教学资源（教程讲稿）第二章 控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型

第二章 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型 控制系统中常见的三种数学模型形式: 1、外部描述:把系统的输出量与输入量之间的关系 用数学方式表达出来,称之为输入一输出描述,或外 部描述,例如微分方程式、传递函数和差分方程。 2、内部描述:不仅可以描述系统的输入、输出之 间的关系,而且还可以描述系统的内部特性,称之 为状态变量描述,或内部描述,适用于多输入、多 输出系统,也适用于时变系统、非线性系统和随机 控制系统。 3、方块图表示:用比较直观的方块图模型来进行描 述

第二章 控制系统的数学模型 控制系统的数学模型 控制系统中常见的三种数学模型形式： 1、外部描述：把系统的输出量与输入量之间的关系 把系统的输出量与输入量之间的关系 用数学方式表达出来，称之为输入 用数学方式表达出来，称之为输入—输出描述，或外 输出描述，或外 部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。 部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。 2、内部描述：不仅可以描述系统的输入、输出之 ：不仅可以描述系统的输入、输出之 间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之 间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之 为状态变量描述，或内部描述，适用于多输入、多 为状态变量描述，或内部描述，适用于多输入、多 输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机 输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机 控制系统。 3、方块图表示： 、方块图表示：用比较直观的方块图模型来进行描 用比较直观的方块图模型来进行描 述

第一节拉普拉斯变换 拉普拉斯变换(拉氏变换)是控制系统中最为常用 的一种数学方法。 拉氏变换实现公式: C(S)=LC(t]= c(t)esdt 通过拉氏变换还可将微分方程化为以s为变量的代数 方程。对f()的n阶导数,其拉氏变换的一般表达式 为: f()|=F()-sf(0)-sf(0)-…-sfm3(0)-f-(0

第一节 拉普拉斯变换 • 拉普拉斯变换（拉氏变换）是控制系统中最为常用 的一种数学方法。 • 拉氏变换实现公式： 0 ( ) [ ( )] ( ) st C s L c t c t e dt ∞ − = = ∫ • 通过拉氏变换还可将微分方程化为以s为变量的代数 方程。对f(t)的n阶导数，其拉氏变换的一般表达式 为： ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) −1 −2 ( −2 ) ( −1) = − − − − − ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ n n n n n nn f t s F s s f s f sf f dtd L & L

第一节拉普拉斯变换 例2-1:求微分方程4x++4x=0x(02=04(0)=1的解 解:对上式进行拉氏变换可得 sX(s)-1]+5sX(s)+4X(s)=0 由此可得 X(S) s+5s+4(s+1)(s+4)3(s+1)3(s+4) 再对X(s)进行逆拉氏变换,可得

第一节 拉普拉斯变换 例 2-1：求微分方程 2 5 4 0; (0) 0, (0) 1的解 2 + + = = = dt dx x x dt dx dt d x 解：对上式进行拉氏变换可得 [ ] ( ) 1 5 ( ) 4 ( ) 0 2 s X s − + sX s + X s = 由此可得 3( 4) 1 3( 1) 1 ( 1)( 4) 1 5 4 1 ( ) 2 + − + = + + = + + = s s s s s s X s 3 3 ( ) t 4t e e x t − − = − 再对X s( )进行逆拉氏变换，可得

第二节系统输入-输出的传递函数描述 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法,一般只适用于线性定常系统。 ·线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时, 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 微分方程与传递函数转变关系 a"y+a"y+…+a-j+ay两边拉氏变换G(s)=X(s)4S+as"+…+as+a Y(s)bs"+b"+…+bs+b bmx+bm)x+…+bx+bx (y是系统的输出量,ⅹ是系统的输入量,初始条件为零) ·传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位,但 是它不提供有关系统物理结构的任何信息

第二节 系统输入-输出的传递函数描述 输出的传递函数描述 • 传递函数是在控制理论中表示定常系统输入输出关 系的最常用方法，一般只适用于线性定常系统。 • 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 输出量的拉普拉氏变换与输入量的拉普拉氏变换之比。 • 微分方程与传递函数转变关系： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b X s Y s G s + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) L L b x b x b x b x a y a y a y a y m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − − L & L & 1 ( 1) 1 ( ) 0 1 ( 1) 1 ( ) 0 两边拉氏变换 （y是系统的输出量，x是系统的输入量，初始条件为零） • 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但 是它不提供有关系统物理结构的任何信息

第二节系统输入-输出的传递函数描述 例2-4图2-3所示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路 +o- 解:此电路的电压平衡方程 式: L-t Ri+u=u 2-7 由于7= q=Cl式中,q为电荷量,C为电容 式(27)可改写为:2A+C4= 初始条件为零时,取方程(27)的拉式变换: (LCS+ RCS+DU(s=U(s) 可到系统的传递函G(s=.s 数 U(s) LCS+RCs+

第二节 系统输入-输出的传递函数描述 输出的传递函数描述 例2-4 图2-3所示为一由电感L、电阻R和电容C组成的电路 R L i C + - u 解：此电路的电压平衡方程 式： 由于 ， 式中，q为电荷量，C为电容 式(2-7)可改写为： dt dq i = q = CuC u u dt du RC dt d u LC C C C + + = 2 2 Ri u u dt di L + + C = (2-7) 初始条件为零时，取方程(2-7)的拉式变换： ( 1) ( ) ( ) 2 LCs RCs U s U s + + C = 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = U s LCs RCs U s G s 可到系统的传递函 C 数：

第二节系统输入-输出的传递函数描述 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数 学模型 第一种表示方式为分子、分母的多项式形式: Y(s) bos"+b .b, s+b G(S) X(s) aos"+a, s"+.a,s+a 第二种表示方式也叫零极点增益模型,具体形式 为: .(S+2, G(s=k )( z0)(S+2 (s+p)s+1)…(s+pn) ·这两种模型各有不同的适用范围,可以相互转换,在不 同的场合需要用不同的模型

第二节 系统输入-输出的传递函数描述 输出的传递函数描述 • 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数 学模型： 第一种表示方式为分子、分母的多项式形式： 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) m m m m n n n n Y s b s b s b s b G s X s a s a s a s a − − − − + + + = = + + + LL 第二种表示方式也叫零极点增益模型，具体形式 为： 0 1 0 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) mn s z s z s z G s k s p s p s p + + + = + + + KL •这两种模型各有不同的适用范围，可以相互转换，在不 同的场合需要用不同的模型

第三节典型环节函数的数学模型 1比例环节 比例环节又称放大环节,其传递函数为: GO C( K 2惯性环节 R(s) 惯性环节又称非周期环节,其传递函数为: i(s)=C(s)K 3积分环节 R(s)7S+1 积分环节的传递函数为: C(s)K s) R(S)S

第三节 典型环节函数的数学模型 1 比例环节 比例环节又称放大环节，其传递函数为： K R s C s G s = = ( ) ( ) ( ) 2 惯性环节 惯性环节又称非周期环节，其传递函数为： ( ) 1 ( ) ( ) + = = Ts K R s C s G s 3 积分环节 s K R s C s G s = = ( ) ( ) ( ) 积分环节的传递函数为：

第三节典型环节函数的数学模型 4微分环节 微分环节的传递函数为: C(s) TS 5二阶环节 R(S) 二阶环节又称为振荡环节,其的传递函数为 C(s) K R(S TS+S+ 6延迟环节 延迟环节的传递函数为: G(S) C(s) R(S)

第三节 典型环节函数的数学模型 4 微分环节 微分环节的传递函数为： Ts R s C s G s = = ( ) ( ) ( ) 5 二阶环节 二阶环节又称为振荡环节，其的传递函数为 ( ) 1 ( ) ( ) 2 2 + + = = T s s K R s C s G s 6 延迟环节 延迟环节的传递函数为： s e R s C s G s −τ = = ( ) ( ) ( )

第四节用方块图表示的模型 方块图 指向方块的箭头表示输入,而从方块出来的箭头则表示 输出。在这些箭头上标明了相应的信号。 M0一“数0+Y(s)=G()X( 误差检测器的方块图 误差检测器产生的输出信号,等于控制系统的参考 输入信号与反馈信号之差。 E(s)=R()-B() C/s)

第四节 用方块图表示的模型 • 方块图 指向方块的箭头表示输入，而从方块出来的箭头则表示 输出。在这些箭头上标明了相应的信号。 传递函数 G(s) X(s) Y(s) Y(s) = G(s)X (s) • 误差检测器的方块图 误差检测器产生的输出信号，等于控制系统的参考 输入信号与反馈信号之差。 + - R(s) E(s) C(s) E(s) = R(s) − B(s)