《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数与极限 第六节 极限存在准则及两个重要极限

第六节 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章

函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1 imf(x)=A,{xn}:xn≠x,f(xn)有定义 X→> X→0 →>x0(n→>∞)2有lmnf(xn)=A x.→> n→ 为确定起见,仅讨论x→>x的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0  : n  x , 0 x x n  有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn →  机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.lmf(x)=A,V{xn}:xn≠x23f(xn) x→ 有定义,且xn2→x0(n→>∞),有limf(xn)=A 证:>设lmf(x)=A,即∨E>0,3δ>0,当 x→)x 0∞) 对上述8,彐N,当n>N时有0N时f(xn)-A0 可用反证法证明(略 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x  x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即   0,   0, 当 有 f (x) − A   .  : n  x , ( ) n 0 n x  x f x 有定义 , 且 对上述  , 时, 有 于是当 n  N 时 f (x ) − A   . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当   x y A    N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.limf(x)=A,{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义 且xn→x0(n→∞),有limf(xn)=A (xn→>∞) n→0 说明:此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xn≠x,且xn→x0(n→∞) 使limf(xn)不存在 n→0 法2找两个趋于x0的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn n→ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x  x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n  lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列  xn 及  , n x  使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n  f x  → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明 lim sin不存在 x->0 X 证:取两个趋于0的数列 n2n兀 及 1 2n兀+ 有1 lim sin= lim sin2nx=0 n→)0 Im sin n→>00 n1m lim sin (2nT+2)=1 由定理1知 lim sin-不存在 x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1   +  = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x  1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = →  n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.函数极限存在的夹逼准则 定理2.当x∈Ux,d8)时,g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x|>X>0) lim g(x)=lim h(x)=A x→ x→)x (x→>∞) (x→>∝ →limf(x)=A x→> x→0 (利用定理1及数列的夹逼准则可证) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. ( , ) , 当x x0  时   g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x)  f (x)  h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x  X  0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两个重要极限 BD Sinx Im A 证:当x∈(0,至)时 △AOB的面积0 . x 学 HIGH EDUCATION PRESS 注目录 下页返回结束

1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2  x  x  x  x  (0, ) 2   x 时， (0 ) 2  显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束

例2求lim tanx x->0y tan x 解:1im sinx 1 lin x->0x >0、 X COSX -lim sinx lim 0 x x-0 cOS x 例3.求lm arcsinx >0 解:令t= arcsin x,则x=sint,因此 原式=lim=1im t→>0Sntt→>0 Sint1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 求 解: x x x tan lim →0       = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0  =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1-cosx 例4.求lim 0 SIn 解:原式=lim x->0 2m/S:72 例5.已知圆内接正n边形面积为 A=nr sin cos 证明:imAn=xR2 R 证: lim An=lim sIn 兀 R n→) T COS Z 丌R n→>0 说明:计算中注意利用 lim sine(x) (x)>0(x) HIGH EDUCATION PRESS 10°a8

n n n R   cos sin lim 2 → = R  n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 =  例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n   n n n A nR   sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim       = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.im(1+1)=e 证:当x>0时,设n≤x0 1+ n+1 i(1+1)+=limn[(1+1)0+1)]=e n→>O n→0 lim(1 x→>+0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2. 证: 当 x  0 时, 设 n  x  n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) +  + n n +  + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e e x x x + = →+ lim (1 ) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束