浙江大学：《数学建模概论》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 微分方程模型 3.5 传染病模型

§3.5传染病模型 传染病是人类的大敌,通过疾病传播过程中若千重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论,研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中,我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行,并建立起相应的多房室模型。 问题的提出: 医生们发现,在一个民族或地区,当某种传染病流传时 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律,两次流行(同种疾病)的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢?试用建模方法来加以证明

§3.5 传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过程中若干重要因素 之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律 并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 在本节中，我们将主要用多房室系统的观点来看待传染病的 流行，并建立起相应的多房室模型。 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时， 波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会 得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会 相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。 问题的提出：

模型 设某地区共有n+1人,最初时刻共有认得病,时刻已 感梁( infective)的病人数为f(n),假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人(k称为该疾病的传染强度),且 设此疾病既不导致死亡也不会康复 则可导出:(dh 故可得 ki i(t)=ie (3.15) i(o=i 此模型即 Malthus模型,它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况,在医学上有一定的参考价值,但随着时间的推 移,将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别,有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染,对每一类中的个体则 不加任何区分,来建立两房室系统

设某地区共有n+1人，最初时刻共有i人得病，t时刻已 感染（infective）的病人数为i(t)，假定每一已感染者在单位 时间内将疾病传播给k个人（k称为该疾病的传染强度），且 设此疾病既不导致死亡也不会康复 模型1 此模型即Malthus模型，它大体上反映了传染病流行初期的 病人增长情况，在医学上有一定的参考价值，但随着时间的推 移，将越来越偏离实际情况。 已感染者与尚未感染者之间存在着明显的区别，有必要将人 群划分成已感染者与尚未感染的易感染，对每一类中的个体则 不加任何区分，来建立两房室系统。 ( ) o di ki dt i o i   =    = 则可导出： 故可得： ( ) kt o i t i e = （3.15）

模型2 记时刻的病人数与易感染人数( susceptible)分别为() 与(),初始时刻的病人数为如根疖下死也不会康复的 假设及(竟模型7为了使模型更精 无沙 确,有必要再将 可、象 模(人群细分,建立 病,与 多房室系统 解得 i(1) k(n+D) (317 1+c.e 其中: n+1 统计结果显示,(3.17预报结果比315)事 接近实际情况。医学上称曲线为此值与传染病的实际高峰期非常 线,并称最大值时刻t为此传染病接减,可用作医学上的预报公式 001 0得 In c k(n+1)

模型2 记t时刻的病人数与易感染人数（susceptible）分别为i(t) 与s(t)，初始时刻的病人数为 i。根据病人不死也不会康复的 假设及（竞争项）统计筹算律， 1 o o o i c n i = + − 其中： ( 1) ( 1) ( 1) ( ) 1 k n t o k n t o c n e i t c e + + + = + 解得： （3.17） ( ) ( ) 1 ( ) o di kis dt i t s t n i o i  =    + = +  =   可得： （3.16） 统计结果显示，(3.17)预报结果比(3.15)更 接近实际情况。医学上称曲线 为传染病曲 线，并称 最大值时刻t 1为此传染病的流行高 峰。 ~ di t dt di dt 2 2 0 d i dt 令： = 1 ln ( 1) o c t k n = − + 得： 此值与传染病的实际高峰期非常 接近，可用作医学上的预报公式。 模型2仍有不足之处，它 无法解释医生们发现的现 象，且当时间趋与无穷时， 模型预测最终所有人都得 病，与实际情况不符。 为了使模型更精 确，有必要再将 人群细分，建立 多房室系统

模型3 将人群划分为三类(见右图):易感染者、已感染 者和已恢复者〔 recovered)。分别记时刻的三类人数为 s()、i和r(),则可建立下面的三房室模型 边一=0称为传染的从系数 Suscep k (3.18) S(t)+(t)+r(t)=n+1(3) infective i(0)=in,r(o)=0 求解过程如下: recovere 对(3)式求导,由(1)、(2)得:d k dy 解得 s(t)=s 记 则 r(t) k

infective recovered susceptible k l (1) (2) ( ) ( ) ( ) 1 (3) , ( ) 0 o di ksi li dt dr li dt s t i t r t n i(o) i r o  = −    =    + + = +   = = （3.18） l 称为传染病恢复系数 求解过程如下： 对（3）式求导，由（1）、（2）得： ds k dr ksi s dt l dt = − = − ( ) ( ) k r t l o s t s e − = 解得： 记： l k  = 则： 1 ( ) ( ) r t o s t s e  − = 将人群划分为三类（见右图）：易感染者、已感染 者和已恢复者（recovered）。分别记t时刻的三类人数为 s(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型： 模型3

如果ssp,则有 根本流行不起来。 鉴于在本模型中的作用P被 医生们称为此疾病在该地区 增加的同时 的阀值?的引入解释了为什 i(开始减小, 么此疾病没有波及到该地区 的所有人。 0.3 s随少p=1 图3-14

infective recovered susceptible k l 由(1)式可得： di ds ds ds li dt dt dt s dt  = − − = − + 从而解得： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) 1 ( ) ( ) o o o r t o s t i t i s s t s s t s e r t n i t s t   −  = + − +     =     = + − − 积分得： ( ) ( ) ( ) ln o o o s t i t i s s t s = + − +  （3.19） 不难验证，当t→+∞时，r(t)趋向于一个 常数，从而可以解释医生们发现的现象。 为揭示产生上述现象的原因（3.18）中 的第（1）式改写成： ( ) di ki s dt = −  其中 通常是一个与疾病种类有关的 较大的常数。 k l  = 下面对 进行讨论，请参见右图 0 di dt 如果 so   ，则有  ，此疾病在该地区根本流行不起来。 如果 ，则开始时 ，i(t)单增。但在i(t)增加的同时， 伴随地有s(t)单减。当s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小， 直至此疾病在该地区消失。 o s    0 di dt  鉴于在本模型中的作用， 被 医生们称为此疾病在该地区 的阀值。 的引入解释了为什 么此疾病没有波及到该地区 的所有人。   图3-14

综上所述,模型3指出了传染病的以下特征: (1)当人群中有人得了某种传染病时,此疾病并不一定流 传,仅当易受感染的人数与超过阀值时,疾病才会流传起来 (2)疾病并非因缺少易感染者而停止传播,相反,是因为 缺少传播者才停止传播的,否则将导致所有人得病。 (3)种群不可能因为某种传染病而绝灭 模型检验: 医疗机构一般依据r(来统计疾病的波及人数,从广义上理 解,r(为l时刻已就医而被隔离的人数,是康复还是死亡对模 型并无影响。 注意到:=b=(m+1-r-)及:s 可得:“=1(n+1-r-e) (3.20)

综上所述，模型3指出了传染病的以下特征： （1）当人群中有人得了某种传染病时，此疾病并不一定流 传，仅当易受感染的人数与超过阀值时，疾病才会流传起来。 （2）疾病并非因缺少易感染者而停止传播，相反，是因为 缺少传播者才停止传播的，否则将导致所有人得病。 （3）种群不可能因为某种传染病而绝灭。 模型检验： 医疗机构一般依据r(t)来统计疾病的波及人数 ，从广义上理 解，r(t)为t时刻已就医而被隔离的人数，是康复还是死亡对模 型并无影响。 ( 1 ) dr li n r s dt = = + − − r l o S S e − 注意到： 及： = 可得： ( 1 ) r o dr l n r s e dt  − = + − − （3.20）

通常情况下,传染病浪及的人数占总人数的百分比不会太 大,故一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项,有: 代入(3.20)得近似方程:=1n+1-+ 积分得:0)=5.Lp 0-1+mtanh(-mlt-) k 其中: 2S(n+1-S p=tanh - 这里双曲正切函数: tanhu= e+e 而 (e"+e")2-(e"-e“)2 4 tanhu 对0求导:22s(m=)2)

通常情况下，传染病波及的人数占总人数的百分比不会太 大，故 一般是小量。利用泰勒公式展开取前三项，有：  r 1 2 1 ( ) 2 r r r e    −  − + 代入（3.20）得近似方程： 2 1 1 2 o o o dr r S S l n S r dt         = + − + − −               积分得： 2 1 ( ) 1 tanh( ) 2 o o S r t m mlt S      = − + −     其中： 1 2 2 2 ( 1 ) 1 o o o S S n S m       + − = − +           1 1 tanh 1 o S m   −   = −     这里双曲正切函数 ： tanh u u u u e e u e e − − − = + 2 2 2 2 ( ) ( ) 4 tanh ( ) ( ) u u u u u u u u d e e e e u du e e e e − − − − + − − = = + + 而： 对r(t)求导 ： 2 2 2 1 sec 2 2 o dr lm h mlt dt S     = −     （3.21）

曲线如一m(m)在医学上被称为疾病传染曲线 图3-14(a)给出了(321)式曲线的图形,可用医疗单位 每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。 图3-14(b)记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟 疫大流行期间每周死亡人数,不难看出兩者有较好的一致性。 dr t-drddt 08 0.5 010203040 图3-14(a)

曲线 2 2 2 1 sec 2 2 o dr lm h mlt dt S     = −     在医学上被称为疾病传染曲线。 图3-14（a）给出了（3.21）式曲线的图形，可用医疗单位 每天实际登录数进行比较拟合得最优曲线。 图3-14（a） 图3-14（b）记录了1905年下半年至1906年上半年印度孟买瘟 疫大流行期间每周死亡人数，不难看出两者有较好的一致性