《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数与极限 第八节 函数的连续性与间断点

第八节 第一章 数的连续性与间断点 函数连续性的定义 二、函数的间断点 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章

函数连续性的定义 定义:设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义,且 if(x)=f(x)则称函数f(x)在x连续 x→x 可见,函数f(x)在点x连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点x有定义,即f(x0)存在; (2)极限limf(x)存在; x-)x0 3)lim f(x)=f(xo) x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若f(x)在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上 连续,或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如,P(x)= a+a1x+∴+a,n (有理整函数) 在(-∞,+∞)上连续 又如,有理分式函数R()-(x) Q(x) 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0,都有limR(x)=R(xo) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录 下页返回结

( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x   − +  = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0  都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = → 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对自变量的增量Ax=x-x0,.有函数的增量 △y=f(x)-f(x0)=f(xo+△x)-f(xo) 函数f(x)在点xo连续有下列等价命题 limf(x)=f(x0)←1imf(xo+△x)=f(x) x→>x △x->0 lim△y=0 yy=f( △x→>0 △y f(x0)=f(x0)=f(x+) 左连续右连续 O ∨E>0,8>0.当 x-x0=Ax<δ时有 f(x)-f(x)=△y|<6 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x +  =  → lim 0 0  =  → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续   0,   0, 当 x − x0 = x   时, 有 f (x) − f (x ) = y   0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例证明函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续 证:Mx∈(-∞,+∞) Ay=sin(x+Ax)-sinx =2sin coS(x+)) Ayl=2 sin 2 cos(x+ △x→>0 0 这说明y=sinx在(-∞,+∞)内连续 同样可证:函数y=cosx在(-∞,+∞)内连续 学 HIGH EDUCATION PRESS o。8 机动目录上页

例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x    = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、函数的间断点 设f(x)在点x的某去心邻域内有定义,则下列情形 之一函数f(x)在点x不连续 (1)函数f(x)在x无定义; (2)函数f(x)在x0虽有定义,但mf(x)不存在 x->x0 (3)函数f(x)在x虽有定义,且imf(x)存在,但 x→x imf(x)≠f(xo) x->x0 这样的点x0称为间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x  → 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

问断点分类 第一类间断点 f(xo)及f(x1)均存在, 若f(xo)=f(xo),称x为可去间断点 若f(x)≠f(x0)称x为跳跃间断点 第二类间断点 f(x0)及f(x)中至少一个不存在 若其中有一个为O,称x为无穷间断点 若其中有一个为振荡,称x为振荡间断点 学 HIGH EDUCATION PRESS o。8 机动目录上页下页返回结

间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 0 x 若 称 0 x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 0 x 若其中有一个为振荡 , 称 0 x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如: y=tan x Dy=tan x x=x为其无穷间断点 (2)y=sin sIn x=0为其振荡间断点 (3)y x=1为可去间断点 O HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2  x = 为其无穷间断点 . x = 0 为其振荡间断点 . x =1为可去间断点 . o x y 1 例如: y = tan x 2  x y o x y x y 1 = sin 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

x.x≠1 (4)y=f(x)= 显然limf(x)=1≠f() x)1 O x=1为其可去间断点 x-1,x0 f(0)=-1,f(0)=1 x=0为其跳跃间断点 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

1 lim ( ) 1 (1) 1 f x f x =  → 显然 x =1 为其可去间断点 .    =  = = , 1 , 1 ( ) 2 1 x x x (4) y f x o x y 2 1 1 (5)     +  = −  = = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x y f x x y o 1 −1 (0 ) = −1, − f (0 ) =1 + f x = 0 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.f(x)在点x连续的等价形式 lim f(x)=f(ro)+ lim [f(o+Ax)-f(o)]=0 x→)x △x->0 f(o)=f(ro)=f(xo) 左连续右连续 2.f(x)在点x间断的类型 可去间断点 第一类间断点1跳跃间断点/左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点左右极限至少有 振荡间断点个不存在 HIGH EDUCATION PRESS 10°a8

内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束