《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数与极限 第四节 无穷小与无穷大

第一章 第四 无穷小与无穷大 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大

无穷小 定义1.若x→>x时,函数f(x)→>0,则称函数f(x) 或x->∞) 为x→>x0时的无穷小 (或x→>∞) 例如 lim(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 lim-=0,函数当x→∞时为无穷小 X lim =0,函数 X v7一当x→>-∞时为无穷小 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.若x→x0(或x->∞)时,函数f(x)→>0,则 则称函数f(x)为x→x0(或x→>∞)时的无穷小 说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小 因为 lmC=0>0.彐δ>0 x→>x0 当0<x-x<时 C-0<E 显然C只能是0! 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.(无穷小与函数极限的关系) lim f(x)=A f(x)=A+a,其中c为x->x x->x0 时的无穷小量 证:imf(x)=A x→>x0 VE>0,3>0,当0x 对自变量的其它变化过程类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x − x0   时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0(正数X),使对 一切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x0(x->)时为无穷大,记作 limf(x)=∞.(limf(x)=∞) 若在定义中将①式改为∫(x)>M(f(x)x℃o x→>0 (x→>∞) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x  X ) ( x → ) (lim ( ) =  ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x)  −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意: 1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态 2函数为无穷大,必定无界.但反之不真 例如,函数f(x)= x cos x,x∈(-∞,+∞) f(2nx)=2nx→(当n→>∞) 但f(2+n)=0 所以x>∞时,f(x)不是无穷大! y=xcos x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明lim1 x→11x-1 证:任给正数M,要使 >M,即x-1 X M 只要取d1 M 则对满足0<x-1<8的切x,有 M 所以li oo 1x-1 说明:若imf(x)=O,则直线x=x0 为曲线y=f(x)的铅直渐近线 渐近线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M  = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中, 若f(x)为无穷大,则为无穷小 若f(x)为无穷小且f(x)≠0,则a为无穷大 (自证) 说明:据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2无穷小与函数极限的关系Thl 3.无穷小与无穷大的关系Th2 思考与练习P41题1,3 P41题3提示 y=1+2|21- 0<x≤ 104+2 作业 P412(1),(2);7 HIGH EDUCATION PRESS 第五节目录 下页返回结束

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 思考与练习 P41 题1 , 3 P41 题3 提示: 作业 P41 2 (1) , (2) ; 7 第五节 目录 上页 下页 返回 结束