《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 导数与微分 第四节 隐画数和参数方程求导 相关变化率

第四节 第二章 隐画数和参数方程求导 相关变化率 隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 A三、相关变化率 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章

隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数,则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数,称为显函数 例如,x-y3-1=0可确定显函数y=31-x y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数, 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法:F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y的方程) dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y  的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例求由方程y5+2y-x-3x7=0确定的隐函数 d y=y(x)在x=0处的导数 dxx=0 解:方程两边对x求导 da (y3+2y-x-3x2)=0 d 得5 +2-1-21x0=0 dx dx dy1+21x6 4 +2 d 因x=0时y=0,故 dxx=02 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + +  = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2求椭圆x 1在点(2,33)处的切线方程 169 解:椭圆方程两边对x求导 y=0 9 y 16y y= 故切线方程为y2 即 √3x+4y-83=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.求y=x5x(x>0)的导数 解:两边取对数,化为隐式 ny=sinx Inx 两边对x求导 y=coS x Inx Sin x y sIn x SInx coSx·nx+ X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例3. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x   =  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 1)对幂指函数y=l可用对数求导法求导 Iny=vInu y'=vInu+v y=u(v'InutD u 注意 u Inu. v+vu 按技指数函数求导公式按幂函数求导公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y  1 = v lnu u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 例如,y b( C (a>0,b>0,,≠1) b b 两边取对数 Iny=xIn+a[Inb-Inx+b[Inx-Ina b 两边对x求导 b n 6 x bx b n b b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 =  y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a] 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如,y (x-1)(x-2) V(x-3)x-4 两边取对数 (ln)= In y=o[In x-1+In x-2-In x-3 -In x-41 对x求导 1x-2x-3x-4 (x-1(x-2) 2(x-3x-4)1x-1x-2x-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u  (ln ) =  2 1 ln y = 对 x 求导  2 1 =  y y   4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4  + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x  4 1 − − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 9( v() 可确定一个y与x之间的函数 关系(),v()可导,且[()2+v()12≠0,则 q(t)≠0时,有 dydy dt dy 1 yu'(t) dx dt dx dt dx (t' V()≠0时有 d t dx dx dt dx 1 o'(t) (此时看成x是y的函数)v() dy dt dy dt dy 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t)  0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (t)  0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若上述参数方程中(),()二阶可导且q()≠0, 则由它确定的函数y=f(x)可求二阶导数 利用新的参数方程{dy(o可得 dx ( d-y d d dd ly、/d d x2 dx dx dt dx/ dt y"(t)(t)-v(t)o"(t) q2() V"()(t)-v()"(t)x一x HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味

若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2  t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t         −   = 3 x yx xy   −  = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y     = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束