清华大学：《现代控制理论》 第二章 线性系统的状态空间描述

的空解

第二章 ❖线性系统的状态空间描 述

21线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述→→传递函数 系统的内部描述→状态空间表达式 「状态方程 输出方程 1.输入、输出描述 2.松弛性:若系统的输出y()(t≥t0)由输入

2.1 线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间表达式 1.输入、输出描述 2.松弛性:若系统的输出 由输入     输出方程 状态方程 ( )( ) 0 y t t  t 

ODn2]唯一确定则称系统在是松的 1.H→G 3因果性:y=f(x,),u≤t 4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 l1和2及任意常数a,均有H(1+2)=hh1+h2 (可加性),H(a1)=aH(41)(齐次性,则该系统 称为线性的否则为非线性 5定常性:1)定义:ga-位移算子

唯一确定,则称系统在 是松弛的 3.因果性: 4.线性:一个松弛系统,当且仅当对任何输入 及任意常数 , 均有 (可加性), (齐次性),则该系统 称为线性的,否则为非线性. 5.定常性:1)定义: -位移算子 ( )[ , ] u t t 0  y = Hu, H  G y = f (x,u),u  t u1 和u2  1 2 1 2 H(u +u ) = Hu + Hu ( ) ( ) H u1 =H u1 Qa

l()=Q()=(-a) 2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数O,均有y=H=HQu=aHn=Qy 则称系统是定常的 22状态空间的基本概念 1状态:表征系统运动的信息和行为 2状态变量:完全表征系统运动状态的最小 组变量 3状态向量x()x

u(t) = Q u(t) = u(t −) a 2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 则称系统是定常的 2.2 状态空间的基本概念 1.状态:表征系统运动的信息和行为 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一 组变量 3.状态向量 [ ]  y Hu HQ u Q Hu Q y = = a = a = a x1 (t)x2 (t) T x(t) =

4状态空闺:以自个状态变量作为坐标轴所组 成的n维空间 阶微分方程 5状态方程:xl 阶差分方程 x()=f[x(t),u(t),t]x(tk+1)=[x(tk),(tk)2t] 6输出方程 代数方程 y(t=gIx(t),u(t), t] y(tk)=gLx(tk), u(tk),tkI 7状态空间表达式(动态方程):{A,B,C,D} 表示

4.状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组 成的n维空间. 5.状态方程： 6.输出方程： 7.状态空间表达式(动态方程)：{A，B，C，D} 表示     一阶差分方程 一阶微分方程 x u x (t) = f [x(t),u(t),t] ( ) [ ( ), ( ), ] k 1 k k k x t = f x t u t t + 代数方程     u x y y(t) = g[x(t),u(t),t] ( ) [ ( ), ( ), ] k k k k y t = g x t u t t

i=f(x, u, t ) x(+)=f(x, l, y(t=g(r,u, t) g(t)=g(x,u, tk) 线性函数→线性系统 (t)=A(1)x(t)+B()() 线性时变系统 8()=c(t)x()+D(1)(t) 线性定常系统x=Ax+B,y=Cx+D 线性定常离散系统x(+1)=Gx(k)+H(k y(k)=Cx(h)+ Du(k)

   = = ( ) ( , , ) ( , , ) y t g x u t x f x u t    = + = ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) 1 k k k k g t g x u t x t f x u t    = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g t c t x t D t u t x t A t x t B t u t   线性函数  线性系统 线性时变系统 线性定常系统 x  = Ax + Bu, y = Cx + Du 线性定常离散系统 x(k +1) = Gx(k) + Hu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k)

状态空间分析法举例 例1求图示机械系统的状态空间表达式 外九u(t)3-弹性系数 牛顿力学 阻 ()(=ky 尼 系数 位移令x1=yx2=y

状态空间分析法举例 例1求图示机械系统的状态空间表达式 外力 位移 u(t) K m y(t) b u(t) •• my • = +by+ky 牛顿力学 x = y 1 • x = y 令 2 ---弹性系数 阻 尼 系 数

动态方程如下 k y+=(t) x2+-()

1 2 x = x • ( ) 1 2 u t m y m b y m k x = y = − − + • •• • ( ) 1 1 2 u t m x m b x m k = − − + 1 y = x 动态方程如下

状态空间表达式为: 0bm +.L b y 0孓 例2求图示RLC回路的状态空间表达式

状态空间表达式为：         • • 2 1 x x       − − = m b m k 0 1       2 1 x x u m       + 1 0         = 2 1 1 0 x x y 例2求图示RLC回路的状态空间表达式

R u(t) i(t) 输入 输出 解:以为中间变量,列写该回路的微分方程 Ri-+ +zi dt 2=-Jidt 选 idt

解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选 i(t) dt di uc (t) u(t) uc (t) c 1  idt R L + _ + _ u(t) uc(t) + _ i(t) y 输入 输出 Ri + + = = x1 =i x2 =  idt c 1