清华大学：《现代控制理论》 第四章 线性系统的设计与综合

第四章 线性糸统的设计与综合

第四章 线性系统的设计与综合

41状态反馈和输出反馈 1.状态反馈控制律: u=y-Kx(K∈R-反馈增益阵) =(A-BK)x+By y=(C-DK)x+D状态反馈系统 *D=0 X=(A- Bk)x+ Bv, y=Cx 闭环传第函数和特征方程为:

4.1状态反馈和输出反馈 1.状态反馈控制律： 则 u =V − Kx(K R pn −反馈增益阵） y C DK x DV x A BK x BV = − + = − + ( )  ( )  状态反馈系统 若D=0 闭环传第函数和特征方程为： x  = (A− BK)x + BV , y = Cx

Gk(S)=C(ST-A+ BK)B nI-A+BK=0 2输出反馈 a.输出反馈至状态微分 X=(A-HC)x+ Bu y=Cx Gh(S)=C(ST-A+HC) B

0 ( ) ( ) 1 − + = = − + − I A BK Gk s C SI A BK B  y Cx x A HC x Bu =  = ( − ) + 2.输出反馈 a.输出反馈至状态微分 Gh s C SI A HC B 1 ( ) ( ) − = − +

b输出反馈至参考输入 u=v-Fy X=(a- bFc)x+ Bv Gr(S=C(SI-A+ BFC) B 42闭环系统的能控性和能观性 定理1:状态反馈的引入不改变系统的可控 性但可能改变系统的可观测性 证明:见书P480

b.输出反馈至参考输入 4.2闭环系统的能控性和能观性 定理1： 证明：见书P480 G S C SI A BFC B x A BFC x Bv u v Fy F 1 ( ) ( ) ( ) − = − + = − + = −  状态反馈的引入不改变系统的可控 性但可能改变系统的可观测性

定理2:输出至参考输入反馈的引入能同时不 改变系统的可控性与可观测性,即输出反馈 系统S为可控(可观测)的充分必要件 是被控系统S。为可控(可观测) 3.定理3:输出至x的反馈不改变系统的能 观性但可能改变原系统的能控性 证明见书P481

定理2：输出至参考输入反馈的引入能同时不 改变系统的可控性与可观测性，即输出反馈 3.定理3：输出至 的反馈不改变系统的能 观性但可能改变原系统的能控性。 证明见书P481 系统 为可控（可观测）的充分必要件 是被控系统 为可控（可观测） F S o S x 

43单输入一多输出系统的极点配置 所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反 馈使闭环系统的极点位于所希望的位置 设元=Ax+B Cx 引入状态反馈:=y-K X=(a-bk)x+ By Cx

4.3单输入—多输出系统的极点配置。 所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反 馈使闭环系统的极点位于所希望的位置。 设 引入状态反馈： y Cx x Ax Bu =  = + y Cx x A bK x Bv u v Kx = = − + = −  ( )

BB0->shr A-bK称为闭环状态阵 A-(4-bK)=0为闭环系统特征方程

B S 1 A C F V u + + x x y _ + A-bK称为闭环状态阵 I −(A−bK) = 0 为闭环系统特征方程

定理4利用状态反馈任意配置闭环极点的 充分必要条件是系统可观测(证明见P484 求状态反馈K的步骤: 第一步:计算A的特征多项式,即 det(sr-A=s+a-s+.+a,S+ao 第二步:计算由{1,2,…n}所决定的希 望特征多项式,即 a(S)=(S-A1)(S-x2)…(S-x,) ∴

定理4 利用状态反馈任意配置闭环极点的 充分必要条件是系统可观测（证明见P484） 求状态反馈K的步骤： 第一步：计算A的特征多项式，即 第二步：计算由 所决定的希 望特征多项式，即 1 0 1 1 det(SI A) S a S a S a n n n − = + + + + − −  {1 ,2 , n } * 0 * 1 * 1 1 1 2 * ( ) ( )( ) ( ) S a S a S a a s S S S n n n n = + + + + = − − − − −     

第三步:计算k k 第四步:计算变换矩阵 A-6 ab bll

第三步：计算 第四步：计算变换矩阵 k  1 * 1 1 * 0 1 * = a0 − a a − a an− − an− k                = − − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n a a a P A b Ab b     

第五步:求P 第六步:计算状态反馈增益向量k=kP 引入状态反馈K后,系统的状态空间表 达式为x=(A-b)x+By=Cx系统的特 征多项式为detS/-(4-b),令其各项 的系数与希望特征多项式中对应项的系数 相等,便可确定反馈增益向量K

第五步：求P 第六步：计算状态反馈增益向量 引入状态反馈K后，系统的状态空间表 达式为 系统的特 k = kP x  = (A−bk)x + Bv y = Cx 征多项式为 ，令其各项 的系数与希望特征多项式中对应项的系数 相等，便可确定反馈增益向量K。 det[SI − (A−bk)]