清华大学：《现代控制理论》 第五章 李雅普诺夫稳定性理论

第五章 李雅普诺夫稳定性理论

第五章 李雅普诺夫稳定性理论

1892年,俄国 Lyapunov在《运动稳 定性的一般问题》中提出了稳定性理 区无法显示该图片 主要内容: 今李氏第一法(间接法):求解特征方程 特征值 令李氏第二法(直接法):利用经验和技巧来 构造L函数

1892年，俄国Lyapunov在《运动稳 定性的 一般问题》中提出了稳定性理 论 主要内容： ❖ 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 特征值 ❖ 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来 构造L函数 

5.1稳定性基本概念 1.自治系统:输入为0的系统x=Ax+Bu(u=0) 2初态x=f(x,t)的解为x(t,x0,0) 05~050 0 初态 3平衡状态: i=f(x2,t)=0x→系统的平衡状态 a线性系统i=Axx∈R A非奇异:Ax2=0→x2=0 A奇异:4元0→有无多个x

5.1稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0) 2.初态 =f(x,t)的解为 初态 3.平衡状态： 系统的平衡状态 a.线性系统 A非奇异： A奇异： 有无穷多个  x  x  ( , , ) 0 0 x t x t x(t 0 , x0 ,t 0 ) = x0  x  e = f (xe ,t) = 0 xe → x  = Ax n x R Axe = 0 xe = 0 Axe = 0  e x

b.非线性系统 x=f(x2,t)=0→可能有多个 eg.x,=x x2=x1+x,-x 2 令元=0元=0 0 0 0 110

b.非线性系统 可能有多个 eg. 令 x  = f (xe ,t) = 0  e x 3 2 1 2 2 1 1 x x x x x x = + − =   x  1 = 0 x  2 = 0           = 0 0 1 e x       − = 1 0 2 e x       = 1 0 3 e x 

52李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数E>0都对应存在另一个 实数o(a,)>0满足|x-x|≤() o =r.r 0 Mle, x2 ne xo-x|=[(xo-x)2+…+(xm-xm)2]2

5.2李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数 都对应存在另一个 实数 满足   0  (,t 0 )  0 ( , ) 0 0 x x t e −   T n x [x , x x ] 0 = 1 0 2 0  0 T e e e n e x [x , x x ] = 1 2  2 1 2 0 2 0 1 0 1 [( ) ( ) ] e e n n e x − x = x − x ++ x − x

且imnx(,x2t)-xl≤t≥ 则称x是李氏意义下的稳定。 δ与t无关→一致稳定

且 则称 是李氏意义下的稳定。 −   → e t lim x(t, x ,t ) x 0 0 0 0 t  t e x 与t 0 无关一致稳定

2渐近稳定 1)是李氏意义下的稳定 2)ink(,x,4)-x→>0 δ与t无关→一致渐进稳定 3.大范围内渐进稳定性 对Vx0∈(δ)8→0 都有imnx(,x,()-x>0 t->

2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定 2） 一致渐进稳定 3.大范围内渐进稳定性 对 都有 lim ( , 0 , 0 ) − →0 → e t x t x t x 与t 0 无关 ( ) x0 s   → lim ( , 0 , 0 ) − →0 → e t x t x t x

s(δ)→∞A→>∞→x大范围稳定 4.不稳定性 不管δ,E有多小,只要S(6)内由x出发 的轨迹超出S(以外,则x2不稳定

s( ) →  x  →  xe 大范围稳定 4.不稳定性 不管 有多小，只要 内由 出发 的轨迹超出 以外，则 不稳定  , S( ) 0 x S( ) e x

5.3李雅普诺夫第一法(间接法) 线性定常系统稳定性的特征值判据: x=Axx(0)=xt≥0 1)李氏稳定的充要条件: Re(12)≤0i=1,2,…n 2)渐进稳定的充要条件: Re(11)<0i=1,2,n

5.3李雅普诺夫第一法（间接法） 线性定常系统稳定性的特征值判据： 1）李氏稳定的充要条件： 2）渐进稳定的充要条件： x  = Ax 0 x(0) = x t  0 Re(i )  0 i =1,2, n Re(i )  0 i =1,2, n

3)不稳定的充要条件:Re(2)>0

3）不稳定的充要条件： Re(i )  0