《复变函数》课程教学资源（讲义）第二章 解析函数（2.3）初等解析函数

§2.3初等解析函数 对数函数 定义(指数函数的反函数) 满足方程e"=z的一切v(复数) 称为的对数,记作Ln 举例:求Ln(-1),Ln和Ln(3+41) e"≠0.,Lnz的定义域为z≠0 解:Ln(-1)=l(-1)+12k (与实数不同) hn-1+iarg(-1)+2kmi 令z=re,w=l+i,则由定义 In 1+iT +2ki=(2k+1)ri Lni=hni+2kmi=hni +iargi+2kri i+2ki v=6+2kz=Ag(k=0.±1±2-)由于3+4=5a3+4)=arc 故w=Lnr+l(O+2kx) LnI=+iArg==Ln =+iarg=+2kmi #h Ln(3+4i)=In5+iade? +kni (k=0,±1±2…),≠0 k=0.±1±2 记hz=Ln+iarg 性质 (-丌<agx≤x)为Ln的主值。 Ln(=1·二2)=Ln=1+Ln=2 (实数情形的推广) ne-Ln ≠0 =lz=hz+2km(k=0,±1,±2…)

§2.3 初等解析函数 ln ln 2 ( 0, 1, 2 ) ( arg ) Ln ln Ln arg ( 0, 1, 2 ), 0 Ln Arg Ln arg 2 Ln ( 2 ) 2 Arg ( 0, 1, 2 ) Ln Ln , , , , ( ) 0,Ln 0 Ln (    = = + =   −   = + =    = + = + + = + + = + = =   = = = = = = = +   = + w z z k i k z z z z i z k z z i z z i z k i w r i k v k z k u r z e r e e e re z re w u iv e z z z z e z w u i v i u i v i i w w            （实数情形的推广） 为 的主值。 记 故 即 令 则由定义 与实数不同 的定义域为 称为 的对数，记作 满足方程 的一切 复数） 定义（指数函数的反函数） 一，对数函数 0 Ln( ) Ln Ln Ln( ) Ln Ln 0, 1, 2 2 3 4 Ln(3 4 ) ln 5 arctg , 3 4 3 4 5, arg(3 4 ) 2 2 Ln ln 2 ln arg 2 ln 1 2 (2 1) ln 1 arg( 1) 2 : Ln( 1) ln( 1) 2 Ln( 1),Ln Ln(3 4 ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2        = −  = + =   + = + + + = + = = + = + = + + = + + = + = − + − + − = − + − + z z z z z z z z z z k i i k i i i arctg i k i i i k i i i i k i i k i k i i k i i k i i 性质 故 由于 解 举例： 求 和           

反函数求导法则 (ln=) weIn weIn 幂函数 整数次幂z已经讨论过 定义 (二≠0) a为复常数 设hoz是Ln中任一个确定的值, 则 (k=0±1,±2…) 0为“所有值中的一个 1°a为整数n,则, kaa =e 故二=z为的单值函数 2a是一个有理数q(既约分数) 只能取p个不同的值, 即k=0,2…,P-1 2k旦 故 k=0,1,2…,p-1 3°a是无理数或者虚数 e2km的所有的值各不相同,=a为无限 多值。当“为多值函数时,em为 z“的主值

的主值。 多值。当 为多值函数时， 为 的所有的值各不相同， 为无限 是无理数或者虚数 故 即 只能取 个不同的值， 是一个有理数 既约分数） 故 为 的单值函数 为整数 ，则， 为 所有值中的一个 则 设 是 中任一个确定的值， 为复常数 定义 整数次幂 已经讨论过 二，幂函数 （ 反函数求导法则 （                           z z e e z k p z w e k p p e e p q z z z e e n w z k z e e z z w z e z z e e z z Lnz k i p q k i p q p q k i k i n k i kn i Lnz z k i Lnz n w w z w w z 2 2 0 2 2 2 2 0 ln 2 0 ' ln ln ' 3 0,1,2 , 1 0,1,2 , 1 2 ( 1 1 ( 0, 1, 2 ) ln Ln ( 0) 1 | 1 | ( ) 1 ln ) 0       = − = = − = = = = =   = = = =  = = = + = =

解析性 =hz在 n解析 而e是ξ的解析函数(关于在 整个复平面解析),故 在该区域解析,并有导数公式 (ahn = 对于w=z=ea(n+2km) 各分支(任取定k)也成立。 举例:求i 解: (k=0,±1,±2…) 举例:求2 解:2+=e(1)n2=e(1)m2+2km) =e(n2-2)+(n2+2kx) ( inz-2km)(cos hn 2 +isin In 2) (k=0,±1,±2…) 且2+的主值为 (cos hn 2 In 2 三角函数和双曲函数 cosx+Isin x 欧拉公式 e= cosx-ISIn x 解得 cosx 定义 (当z=x时,与实函数一致) cos二 cos二 sin cos二

( ) ( ) ( ) 各分支（任取定 也成立。 对于 在该区域解析，并有导数公式。 整个复平面解析），故 而 是 的解析函数（关于 在 在 解析， 解析性 （ ‘ ’ ) ln ln arg 2 ) 1 ' k w z e z e z z e w z e e z z Lnz k i Lnz Lnz Lnz                  + − = = =  = = = = = −   (cosln 2 sin ln 2) 2 ( 0, 1, 2 ) (cosln 2 sin ln 2) 2 2 ( 0, 1, 2 ) ln 2 1 (ln 2 2 ) (ln 2 2 ) (ln 2 2 ) 1 (1 )Ln2 (1 )(ln 2 2 ) 1 2 2 2 ) 2 ( Ln e i k e i e e e e k i e e i i k i k i i k i i i k i i k i k i i i i i  + =    + = = = = = =   = = + − − + + + + + + + − − + 且 的主值为 解： 举例：求 解： 举例： 求           z z z z z z ctgz z z tgz z x e e x i e e x e e x i e e x e x i x e x i x ix ix ix ix ix ix ix ix ix ix sin 1 , csc cos 1 sec , sin cos , cos sin 2 ,cos 2 sin 2 ,cos 2 sin cos sin cos sin = = = = = + = − = + = − =    = − = + − − − − − （当 时，与实函数一致） 定义 解得 欧拉公式 三、三角函数和双曲函数

性质 °snz,cosz在全平面解析且 Sn=)=cos二 COS2=-SIn 2 余者除去在分母为零时的区域 内解析,求导公式同于实数。 2°奇,偶性和周期性同于实函数 Sn(二+2)=snz cos(二+2n)=coS 3°e2=cosz+isnz(z为复数) 欧拉公式成立 4°其他三角公式 sin=1+=2=sin =coS =2 cOS 21. sIn =2 cos(=+=,)=cos =1 cos =,-sin :sin :2 二|=cos二 半角公式涉及开方 5°|sn≤1kos≤1不成立 如取z=(y>0),则 i(iy)1o-i(y) os(y) +e →)+0 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( → +)  → + + = + = =     =      − + = + =  −  + =  +  = + − = − = − + = + = = − = − − y e e e e e iy z iy y z z z z z z z z z z z z z z z z z z e z i z z z z z z z z z z z z z z z z y y y i i y i i y i z 2 2 2 cos( ) ( 0), 5 sin 1 cos 1 cos 2 sin sin cos 1 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin 4 3 cos sin ( cos cos sin sin cos( 2 ) cos sin( 2 ) sin 2 cos sin sin cos 1 sin ,cos ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ' ' 如 取 则 不成立 半角公式涉及开方 其他三角公式 欧拉公式成立 为复数） 奇，偶性和周期性同于实函数 内解析，求导公式同于实数。 余者除去在分母为零时的区域 在全平面解析且 性质         

举例求sn1(1+2) 解:sm(+2)e(,20-2y) -2+-c2- e-(cosl +isin 1)-e-(cos1-isin 1) =ch2.sn1+ish2·cosl 定义双曲函数 2 cth- che she 奇偶性,求导公式同于 实函数。shz,chz,以2 为周期,t和ch以m 为周期

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 为周期。 为周期， 和 以 实函数。 以 奇偶性，求导公式同于 定义双曲函数 解： 举例 求 thz cthz i shz chz i shz chz cthz chz shz thz e e chz e e shz ch ish e e i e e i e i e i i e e i e e i i z z z z i i i i i i  , , 2 2 2 2 sin 1 2 cos1 cos1 2 sin 1 2 2 cos1 sin 1 cos1 sin 1 2 2 sin 1 2 sin 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 = = + = − = =  +  − + + = + − − = − = − + = + − − − − − − − + − + − +

四、反三角函数与反双曲函数 将z=snw的反函数记为 w= Arc sin 由定义 =SIn w= 得e"-2-e"=0 (e")2-2iem-1=0 解得 双值函数 故 = Arcsin=un=+√-2 同样有 = r cOS 2=-in+√2-1 W=Arctan= s Arcctg=2 =+I Ln 类似可得反双曲函数的表达式 Ash=L+v+1双值函数 arche=Ln=+√=2 arts z+1 Arctg-2 2-1 =-Ln 举例:求 Arcsin2 解:4csm2=-m2+√1-2) =-in(2i+√-3)=-n(2i±√3) -l(2±√3)+xi+2km 2 z-ih(2±3)+2k ln(2±√3) (k=0,±1,±2,…)

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 cos 1 sin 1 1 1 ( ) 2 1 0 2 0 2 sin Arc sin sin 2 2 2 2 2 2 2 − + = − + =     = + − = + + + − = =       − + = = − = = − + − = = − + − = + − = + − − − = − − = − = = = = − − z z Arctgz Ln z z Artgz Ln Archz Ln z z Arshz Ln z z z i z i Ln i w Arcctgz iz iz Ln i w Arctgz w Ar z iLn z z w Arc z iLn iz z iw Ln iz z e iz z e ize e iz e i e e z w w z z w iw iw iw iw iw iw iw 双值函数 类似可得反双曲函数的表达式 同样有 故 双值函数 解得 得 由定义 将 的反函数记为 四、反三角函数与反双曲函数 2 ln( 2 3) 2 1 ln( 2 3) 2 2 2 2 ln( 2 3) (2 3) (2 3 ) sin 2 (2 1 2 ) sin 2 2  −       = + = −  +       = −  + + = − + − = −  = − + − k i i k i i k i iLn i iLn i i Arc iLn i Arc      解： 举例： 求 (k = 0,1,2, )

举例:求Arcg(2i) 解: Arct(2i) 21-1·2i (==+iT+2kiT 丌ln3 In 3 kr=(-+k)x+ (k=0,±1,+2,…) 习题 设f(=)= 证明:当z沿着任何向径→0时, f(=)-f(0) →0,但f(0)不存在。 证明1)令y=mx向径),则 x (l + mm ∫(=)=f(=(1+m1)= i) x(l+mx 所以 f(=)-f(0) Im lim 2(1 2)当沿着抛物线y2=x→0时 f()=y(y2-1)(1-yi) f()-f(0)1(y2-1-y) 故f(O)在复数域内不存在 举例:证明lim(+=)”=e

2 ln 3 ) 2 1 ( 2 ln 3 2 2 ) 3 1 (ln 3 2 ln 2 1 2 1 2 2 (2 ) (2 ) i k k i i k i i i i i i i i Ln i Arctg i Arctg i = + + = + +  = − − + +      = − − −  +  = −      解： 举例： 求 (k = 0,1,2, ) 习题 故 在复数域内不存在。 当 沿着抛物线 时 所以 证明 ）令 向径），则 但 不存在。 证明：当 沿着任何向径 时， 设 ‘ (0) ( 0) 2 1 ( 1)(1 ) 2 ( ) (0) 1 ( 1)(1 ) 2 1 ( ) 2) 0 0 (1 )(1 ) (1 )( ) ( ) (0) (1 ) (1 )( ) ( ) ( (1 )) 1 ( 0, (0) ( ) (0) 0 0 0 0 ( )( ) ( ) ' 2 2 2 2 4 2 4 2 0 0 2 4 2 4 2 2 4 2 2 lim lim f y i y i y yi z f z f f z y y yi z y x x m x mi x m m i z f z f x m x x m m i f z f z mi y mx f z f z f z z z x y x x y y x i f z z z → → + − − = − = − − = → = + + + − = − + + − = + = = → − →      =  + + − = → → n z n e n z + = → (1 ) 举例：证明lim

证明:令 Pn=(1+三-(+2)2+(2)2 In 令5=-,由洛比达法则,有 lim hn p limin(a+a)2+52x? 2(1+)x+2y25 10+5)2+5 y2 即 lim p=e 2)令 y y,=arg(1+=)"=narctg- 又lim9 librarie s 2→0 (+sr)y-xys Im y 故 lim(1+-)=e(cos y +isn y)=e

    x n n n n n n n p e x x y x x y x x p n n y n n x p n y n x n z p = = + + + + = = + + =       = + +       = + = + + → → → → lim lim lim lim 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 ) 2 2 1 ln (1 ) 2 1 ln , 1 ln (1 ) ( ) 2 ln (1 ) (1 ) ( ) 即 令 由洛比达法则，有 证明：令           n x z n n n n n e y i y e n z y x x y x y x n y x y arctg n y n y n n z y + = + = = + + −  + + = + = + = + = → → → → (1 ) (cos sin ) (1 ) (1 ) ) 1 1 ( 1 1 1 1 1 arg(1 ) arctg 2) lim lim lim lim 2 0 2 0 故 又 令            