《复变函数》课程教学资源（讲义）第三章 复积分（3.1）概念与性质

第三章复积分 §3.1概念与性质 f(x)dx实函数积分 f(=)d复函数积分 C:复平面内逐段光滑,f(=)为复函数 定义C:复平面内逐段光滑,f(=)在C上有定义 若存在复数Ⅰ,使得无论取分点 A =B 任取∈二1,只要λ(弧段的最大长度)→0,则 Sn=∑(5)Ak→1,(A=x-=-) 称f(=)沿C可积。为积分值,记为 =[()=lmC)A 可积条件。 f(=)=l(x,y)+i(x,y),z=x+ 5k=5k+imk,△k=Ax+i△vk, sn=∑/(<A ∑[(5k,n)Ax-v,7)△ +ilu(sk, k )Ay+v(Sk, k )AxI 由二元函数对坐标曲线积分的定义,有 f(=)d=ludx-vdy+il vdx+udy

第三章 复积分 §3.1 概念与性质  b a f (x)dx 实函数积分 c f (z)dz 复函数积分 C :复平面内逐段光滑， f (z) 为复函数 定义 C :复平面内逐段光滑， f (z) 在 C 上有定义。 若存在复数 I ，使得无论取分点。 A = z0 , z1 ,  , zn−1 , zn = B , B A 任取 , k k 1 k z z   − 只要  （弧段的最大长度） →0,则 = =  →  = − − n k n k k k k k s f z I z z z 1 1 ( ) , ( ) 称 f (z) 沿 C 可积。 I 为积分值，记为  = → = =  C n k k k I f z dz f z 1 0 ( ) lim ( )  可积条件。 , , ( ) ( , ) ( , ), . k k k k k k i z x i y f z u x y iv x y z x iy = +  =  +  = + = +    则    = = = +  +   −  =  = n k k k k k k k n k k k k k k k k n k n k i u y v x u x v y s f z 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] ( )          由二元函数对坐标曲线积分的定义，有    = − + + C C C f (z)dz udx vdy i vdx udy

对坐标的曲线积分: 若C逐段光滑,P(x,y)与Q(x,y)在C上连续,则 积分 J P(x, y)ar+@(x,y)dy 存在 于是有积分存在定理 积分存在定理f(=)=l(x,y)+m(x,y)在逐段光 滑的有向曲线C上连续,则[f()存在(充分条 件)。 有向曲线指逐段光滑的有向曲线。 方向:参数增加的方向C正方向,C-反方向。 简单闭路或简单围线,逐段光滑的简单闭曲线 C逆时针方向,C-顺时针方向 5(简单闭路上的积分 设积分存在「f() C光滑z==(1)=x()+v(t)(a≤t≤b) 则(t)=x(t)+iy'(1)≠0 (有连续转动的切线) 设u()=l4x(1),y(O)v()=ux(1),y() 则/[z()=l(0)+v(t),故 f(=)dr=Ludx-vdy+il vdx+udy 广a()x(-o)y)+ u()y(1)+v()x'()]dt en1-(1)-()dt+lmt-()-)dt [=(l)]-'()dt(计算简便) dz m(n=1) a)-(0(n≠1 C为圆周|-a|=p,n为整数

对坐标的曲线积分： 若 C 逐段光滑， P(x, y)与Q(x, y)在C上连续 ，则 积分  + C P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在。 于是有积分存在定理 积分存在定理 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在逐段光 滑的有向曲线 C 上连续，则 C f (z)dz 存在（充分条 件）。 有向曲线指逐段光滑的有向曲线。 方向：参数增加的方向 C 正方向， − C 反方向。 简单闭路或简单围线，逐段光滑的简单闭曲线。 C 逆时针方向， − C 顺时针方向。 C f (z)dz 简单闭路上的积分。 设积分存在 C f (z)dz C 光滑 z = z(t) = x(t) + iy(t) (a  t  b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 有连续转动的切线 则 z  t = x  t + iy  t  则 故 设 [ ( )] ( ) ( ), ( ) [ ( ), ( )], ( ) [ ( ), ( )] f z t u t iv t u t u x t y t v t v x t y t = + = =        =  +   +   −  + = − + + b a b a b a b a C C C f z t z t dt i f z t z t dt i u t y t v t x t dt u t x t v t y t dt f z dz udx vdy i vdx udy Re{ [ ( )] ( )} Im{ [ ( )] ( )} [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )  =  b a f[z(t)]z (t)dt （计算简便） 例      = = C − n n i n z a dz 0 ( 1) 2 ( 1) ( )  C 为圆周 | z − a |= , n 为整数

证:C的参数方程:z=a+p(0≤0≤2x) 故d=ipet"dO, n=1时 dE Bede[ide=2m n≠1时, d auh e "ion-l)de N o[ cos(n-1)0d0-i sin(n-1)d0] 基本性质 [f()=丁f( 2设C由光滑曲线段C1,C2,C3…,Cn组成,则 [/(k=∑[f( 3[U()±g()=[f()±g()k 4·设k为复常数,则 [6(=)=k[(k 51/(k[/(=)tlsM 积分估值定理L为C的长度。M为f(=)在C 上的上界。 t=√(d)2+(dy)2=ds 是对弧长的微分 证明: ∑∫(k)Ak∑|∫()||△2 ≤∑|∫(k)AS

证：C 的参数方程：  (0  2 )  = +   i z a e 故    dz i e d i = ， n =1 时， d id i e i e z a dz C i i          2 2 0 2 0 = = = −    n 1 时， 0 [ cos( 1) sin( 1) ] ( ) 2 0 2 0 1 2 0 ( 1) 1 2 0 = = − − − = = −      − − − −                  n d i n d i e d i d e i e z a dz n i n n C n i n i n 基本性质         =  = = − = − C C C n k C C n C C f z g z dz f z dz g z dz f z dz f z dz C C C C C f z dz f z dz k 3 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , , 1 ( ) ( ) 1 1 2 3 。 。 。 设 由光滑曲线段  组成，则 f z dz f z dz ML kf z dz k f z dz k C C C C   =     5 | ( ) | | ( ) || | ( ) ( ) 4 。 。 设 为复常数，则 积分估值定理 L 为 C 的长度。 M 为 f (z) 在 C 上的上界。 dz = dx + dy = ds 2 2 | | ( ) ( ) 是对弧长的微分。 证明： k n k k k n k k n k k k f S f z f z          = = = 1 1 1 | ( ) | | ( ) | | ( ) | | |   

=M△S=M 取极限即得 例:试证 dz 2 (二-a(z+a)|r2-|al (r>0,|a≠r) (二-a(二+a) < ≤ r2-|a|2 实函数的积分中值定理在复积分中不成立 因为 ed0= cos 00+i[ sin (d0=0 而 e(27-0)≠0, 故不存在5使 ed0=e(2T-0) 例计算积分 Re edz (1)从原点O到1+i的直线段 (2)从原点O到1再到1+i的折线

M Sk ML n k =  = =1 取极限即得。 例：试证 ( 0,| | ) | | | | 2 ( )( ) 2 2 | | r a r r a r z a z a dz z r   −  − +  =  证：   = = −  − + z r z r z a dz z a z a dz | | 2 2 | | | | ( )( ) | | | | 2 | | | | | | 2 2 | | 2 2 r a r r a dz z r − = −   =  实函数的积分中值定理在复积分中不成立。 因为 cos sin 0 2 0 2 0 2 0 = + =        e d d i d i 而 (2 − 0)  0, i e 故不存在  使 (2 0) 2 0 = −      i i e d e 例 计算积分 C Re zdz （1） 从原点 O 到 1+i 的直线段 （2） 从原点 O 到 1 再到 1+i 的折线

解:(1)C:z=(1+)t(0≤t≤1) 故 f Re ed==fRel(1+ink+i)dt =(1+)m_1+i (2)C1 (0≤t≤1) 故 JRe id==Re ids+Reeds 积分路径不同,积分结果不一定相同

y x 1+i O 1 解：（1） C : z = (1+ i)t (0  t  1) 故   2 1 (1 ) Re Re[(1 ) ] (1 ) 1 0 1 0 i i tdt zdz i t i dt C + = + = = + +    (2) : (0 1) C1 z = t  t  : 1 (0 1) C2 z = + it  t  故 tdt idt i zdz zdz zdz C C C = +  = + = +      2 1 1 0 1 0 1 Re Re Re 1 2 积分路径不同，积分结果不一定相同