《复变函数》课程教学资源（讲义）第一章 复数和复变函数及其极限（1.3）复变函数与整线性映射

§1.3复变函数与整线性映射 定义:DcC,∨∈D,有唯一确定 的复数与之对应,则称在D上定义了 个单值函数=f(x) 若vz∈D,有两个或者多个1与之对 应,则称在D上定义了一个多值函数 =f(z),D为定义域。 D={|3z∈D,f(=)=w为值域。 复变函数的定义,形式上同于一元函 数,但自变量和函数值都是复数 举例w=2,=2,1=z2及 h、z+1 2≠ 均为单值函数 =《z(z≠0,n≥2) 及w=Argz 均为z的多值函数 若无特别声明,下面均指单值函数

§1.3 复变函数与整线性映射  为值域。 为定义域。 应，则称在 上定义了一个多值函数 若 ，有两个或者多个 与之对 个单值函数 的复数 与之对应，则称在 上定义了一 定义： ， 有唯一确定 D w z D f z w w f z D D z D w w f z w D D C z D =   = =   =    | , ( ) ( ), ( ) , * 复变函数的定义，形式上同于一元函 数，但自变量和函数值都是复数。 . Arg ( 0, 2) 1) 1 1 , , 2 若无特别声明，下面均指单值函数 均为 的多值函数 及 均为单值函数 举例 及 z w z w z z n z z z w w z w z w z n = =    − + = = = =

复变函数=f(=)=l(x,y)+1v(x,y) (x,y)∈D,u,v为x,y的二元实函数 将表示为=r·e,则 v=f(=)=p(r,)+iq(r,) 举例W=2+2,当2=x+j时,w可写成 2 x-y +2+2x 因而u(x,y)=x y2 +2,w(x,y)=2xy 当z=re时,又可写成 〃=r2(c0s2q+isin2)+2 因而p(r,q)=r2cos2+2 q(,o=r- sin 2 几何表示 两个复平面,z平面和w平面 V=1,2∈D,21≠22,都有f(=1)≠f(2),则称 =f(z)是定义在D上的单叶函数或单叶 映射

( ) ( , ) ( , ) , ( , ) , , , ( ) ( , ) ( , )    w f z p r iq r z z r x y D u v x y w f z u x y iv x y e i = = + =   = = + 将 表示为 则 为 的二元实函数 复变函数        ( , ) sin 2 ( , ) cos 2 2, (cos 2 sin 2 ) 2 ( , ) 2, ( , ) 2 2 2 2, 2 2 2 2 2 2 2 2 q r r p r r w r i z re w u x y v x y xy w xyi w z z x iy w i x y x y = = + = + + = = − + = = − + + = + = + 因而 当 时， 又可写成 因而 举例 当 时， 可写成 映射。 是定义在 上的单叶函数或单叶 都有 则称 两个复平面， 平面和 平面 几何表示 w f z D z z D z z f z f z z w ( ) , , , ( ) ( ), 1 2 1 2 1 2 =    

f:D→D,单叶函数,则为D到D的 对应(函数值的集合洇而可在D上定 义一个函数z=q(),称为=f()的反函 数(逆映射,逆变换) 举例求下列曲线在映射w=2下的象 (1)以原点为心,2为半径,在第一象限里 的圆弧。 (2)倾角θ=的直线。 (3)双曲线x2-y2=4 解:(1)当z的模为2,幅角由0变为时, 对应的v的模为4,幅角由0变为兀 (2)可看作由agz=及agx=x+n组 2丌 成,在w平面上对应的图形为argz (3)由w=2=x2-y2+2x 故a=x2-y2=4

( ) ( ), ( ) ( ) : , , * * * 数 逆映射，逆变换 义一个函数 称为 的反函 一一对应 函数值的集合 因而可在 上定 单叶函数 则为 到 的 z w w f z D f D D D D = = →  4 th (3) 4 3 (2) (1) 2 2 2 2 − = = = x y w z 双曲线 倾角 的直线。 的圆弧。 以原点为心，为半径，在第一象限里 举例 求下列曲线在映射 下的象   4 0 . 2 (1) 2 0   对应的 的模为 ，幅角由 变为 解： 当 的模为 ，幅角由 变为 时， w Z . 3 2 arg 3 arg 3 (2) arg     = = = + w z z z 成，在 平面上对应的图形为 可看作由 及 组 4 (3) 2 , 2 2 2 2 2 = − = = = − + x y z x y u w xyi 故 由

1st 3 举例z平面上的圆周r: B·z+B·2+D=0 (B|>AD,A≠0) 当A=0时,I为直线,求在映射 下的象 2 解:用z=代入的方程,得 D.w:W+B·W+B·W+A=0 则r仍为w平面上的圆周或直线(D=0时)。 将直线看成半径为无穷大的圆周,则 =-具有保圆性(将Z平面上的圆周仍 2 映射平面上的圆周) 整线性映射 +b(a,b∈C2a≠0) 若令a=a·e,则 =7+b,7=a:5,=e

1 st,3rd 下的象 。 当 时， 为直线，求 在映射 举例 平面上的圆周 ： * 2 1 0 ( , 0) 0 =  =       +  +  + =  z w A AD A A z z z z D z    映射 平面上的圆周）。 具有保圆性（将 平面上的圆周仍 将直线看成半径为无穷大的圆周，则 则 仍为 平面上的圆周或直线 时）。 解：用 代入 的方程，得 w Z z w w D D w w w w A w z 1 ( 0 : 0 1 * * =  =    +  +  + = =    w b a e z a a e w a z b a b C a i i = + =  =  =  =  +      ,  , , ( , , 0) 若令 则 整线性映射

(1)平移=z+b 将沿向量b的方向平移距离b (2)旋转 W三已 2≠0时,=|,Ag()=a+Arg(=) 将z旋转角度a (3)伸缩=a·2 w=a,Ag()=Arg(二) 2显然具有保圆性,下证明3 将二=代入 A·z·2+B·2+B·2+D=0 得Aw:W+a,B·+aB.w+aD=0 圆周) 故w=az+b具有保圆性 举例求圆周z=R在映射 =2z+b(b≠0 下的象

, ( ) ( ) (3) 0 , ( ) ( ) (2) (1) w a z Arg w Arg z w a z z z w z Arg w Arg z w e z z b b w z b i =  = =   = = + =  = + 伸缩 将 旋转角度 时， 旋转 将 沿向量 的方向平移距离 平移    故 具有保圆性 圆周） 得 将 代入 显然具有保圆性，下证明 w az b A w w a w a w a D A z z z z D a w z = +   +   +   + =   +  +  + = = ( 0 0 1,2 3 2     2nd 下的象 ） 举例 求圆周 在映射 = 2 + (  0 = w z b b z R

解:由z=R和-b=2,得 w-b=2R 圆心在b,半径为2R的圆周

圆心在 半径为 的圆周。 解：由 和 得 b R w b R z R w b z , 2 2 2 , − = = − =