《复变函数》课程教学资源（讲义）第四章 复级数习题课

第四章 习题课 n收敛,|ag=nb<号,则级数∑二n绝对收敛。 证:设zn==n|( cos p+ lsin)则 nkθ<受 因∑=n收敛,故∑|= cos收敛。 由0<cos6≤cosn 得|n| cose<=n|cosn 由比较判别法∑|= I cos 8=cosb∑|=n|收敛 〓n绝对收敛。 例:试求满足f()+cf()=0(c≠0)的中心为0的幂级数f(二),并求收敛半径R 解:令f()=∑Cn=”,则在收敛圆本R内,有 f()=∑mCn="=∑(n+1)Cm= 代入f'(=)+cf(=)=0,有 ∑(n+1)Cn:="+∑Cn"=0 C·Cn+(n+1)Cn+==0 C·Cn+(n+1)Cn+1=0(n≥0) 对于n≥1, 故

第四章 习题课 例：若   n=1 n z 收敛， 2 | arg |  zn    ，则级数   n=1 n z 绝对收敛。 证：设 | | (cos sin ) n n n n z = z  + i  则 2 | |  n    因   n=1 n z 收敛，故   =1 | | cos n n n z  收敛。 由  n 0  cos  cos 得 n n n | z | cos | z | cos 由比较判别法    =  = = 1 1 | | cos cos | | n n n n z   z 收敛。 即   n=1 n z 绝对收敛。 例：试求满足 f (z) + cf (z) = 0 (c  0) 的中心为 0 的幂级数 f (z) ，并求收敛半径 R. 解：令   = = 0 ( ) n n n f z C z ，则在收敛圆|z|<R 内，有    = +  = −  = = + 0 1 1 1 ( ) ( 1) n n n n n n f z nC z n C z 代入 f (z) + cf (z) = 0, 有 ( 1) 0 0 0  + 1 +  =  =  = + n n n n n n n C z c C z ( 1) 0 ( 0) [ ( 1) ] 0 1 0 1  + + =   + + = +  =  + C C n C n C C n C z n n n n n n 对于 n  1， 0 ! ( ) C n c C n n − = 故

()=C+)2=) R=lim =+ 例:求∫(=)=h-在z=0的泰勒展开式,其中fz)是满足f(0)=m的那个单值解析分 支 的奇点-1及+1,故在|2<1内能分出所求得单值解析分支 f()=n z+1 1)z-1(z+1 z 1-z2+1 ∑="-∑(-1)” n=0 ∑(-1y-1 在本<1内沿0到z积分 f(=)d=f(=)-f(0) h二-z=(m二) (-)1+0 因而h三=m+∑(-1y-1(=k1 z+1 2z+5 例:求f(二) 在2<=k+∞内的罗朗展开式 解:f(z)的奇点±,2,故f(z)在2<k+∞内解析,可展为罗朗级数。 f(二)=

) ! ( ) ( ) (1 1 0   = − = + n n n z n c f z C = + + = = → + → | | 1 lim lim 1 C n C C R n n n n 例：求 1 1 ( ) ln + − = z z f z 在 z=0 的泰勒展开式，其中 f(z)是满足 f (0) = i 的那个单值解析分 支。 解： 1 1 ln + − z z 的奇点-1 及+1，故在|z|<1 内能分出所求得单值解析分支。     = +  =  = = − − = − − − + − − = − + − − = − + =        + − − + =        + −  = 0 1 0 0 [( 1) 1] ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ln n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z z z f z 在|z|<1 内沿 0 到 z 积分，     = + + − − + =  + − − = + − =  = − 0 1 1 0 0 [( 1) 1] 1 1 ) 1 1 (ln 1 1 ln ( ) ( ) (0) n n n z z z n dz z z i z z f z dz f z f  因而 [( 1) 1] (| | 1) 1 1 ln 1 1 = + − −  + −   = i z z z z n n n n  例：求 ( 2)( 1) 2 5 ( ) 2 2 − + − + = z z z z f z 在 2 | z | + 内的罗朗展开式 解：f(z)的奇点  i,2 ，故 f(z)在 2 | z | + 内解析，可展为罗朗级数。 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) z z z z z z f z + −  − =  + − − =

∑() 2S(-1)m ∑ ∑2+2(

       =  = −  = +  + = +  =  = − = + − = + = − − 1 2 1 1 0 2( 1) 1 0 1 0 2 2 0 2 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 1 ( 1) 2 ( ) 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n z z z z z z z z