《复变函数》课程教学资源（讲义）第二章 解析函数（2.2）函数解析的概念和充要条件

§2.2函数解析的概念 和充要条件 区域内可导的函数--解析函数。 定义:w=f()在点=0的某个邻域内 (--0<p)可导,则称它在点解析。 也称函数在该点全纯或者正则 f()在二0点不解析,0奇点。 f(=)在区域D内处处解析,称(z)在 D内解析。 定理1f(=)在区域D内处处解析台 D内处处可导 f(=)在〓点解析→f()在点可导 反之不对。 二0点可导,不能得到a附近的点可导 举例:讨论f(z)=x2+y2的可微性和 解析性。 解:(x,y)=x2,v(x,y)=y2 2 四个偏导数均连续,但只在直线x=y 上满足C-R方程,从而, f(z)仅在直线x=y上可导。 但是在z平面上处处不解析

§2.2 函数解析的概念 和充要条件 内解析。 在区域 内处处解析，称 在 在 点不解析， 奇点。 也称函数在该点全纯或者正则。 （ 可导，则称它在点 解析。 定义： 在点 的某个邻域内 区域内可导的函数 解析函数。 D f z D f z f z z z z z z w f z z ( ) ( ) ( ) ) ( ) 0 0 0 0 0 −   = − − 点可导，不能得到 附近的点可导。 反之不对。 在 点解析 在 点可导， 内处处可导。 定理 在区域 内处处解析 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) z z f z z f z z D f z D   但是在 平面上处处不解析。 仅在直线 上可导。 上满足 方程，从而， 四个偏导数均连续，但只在直线 解： 解析性。 举例： 讨论 的可微性和 z f z x y C R x y y y v x v y u x x u u x y x v x y y f z x iy = − = =   =   =   =   = = = + ( ) 2 , 0, 0, 2 ( , ) , ( , ) ( ) 2 2 2 2

举例: 证明f()=e'(cosy+isny)在整个复平 面上处处解析,且有f(z)=f(z) 证明:l(x,y)= e cos y,(x,y)=e'sny 于是 t y 从而 并且处处连续,从而f()在平面上 处处解析 (cos y+isin y f(=) 举例:已知f(z)在区域D内解析,且 Ref()=c证明f()在D内是一个常数。 证:f(z)=l+,由于u=c,故 又f(=)在D内解析,由C-R方程 ov ou 0, 0 从而v为常数,f()在D内也是常数。 定理2f(x)=l(x,y)+ⅳ(x,y)在区域 D内解析的充要条件是u(x,y)和v(x,y) 在D内处处可微且满足C-R方程。 定理3f(x),g(z)在D内解析,则 f(二)±g( f(x)·g(=)在D内解析 f(=) (g(二)≠0) g(二) 由求导法则证得。 定理4解析函数的复合函数仍是 解析函数

( ) ( ) (cos sin ) ( ) sin cos cos sin ( , ) cos ( , ) sin ( ) ( ) ( ) (cos sin ) f z e y i y x v i x u f z f z z x v y u y v x u e y y v e y x v e y y u e y x u u x y e y v x y e y f z f z f z e y i y x x x x x x x x = = +   +   =   −     =   =   =   = −   =   = = = = + ‘ ’ 处处解析 并且处处连续，从而 在 平面上 从而 ， ， ， ， 于是 证明： ， 面上处处解析，且有 证明 在整个复平 举例： 从而 为常数， 在 内也是常数。 又 在 内解析，由 方程 证： 由于 故 证明 在 内是一个常数。 举例：已知 在区域 内解析，且 v f z D x u y v y u x v f z D C R y u x u f z u iv u c f z c f z D f z D ( ) 0, 0 ( ) 0 ( ) , , Re ( ) . ( ) ( )    =      = −   −    =   = +   解析函数， 定理 解析函数的复合函数仍是 在 内解析 由求导法则证得。 （ ） 定理 ， 在 内解析，则 在 内处处可微且满足 方程。 内解析的充要条件是 和 定理 在区域 4 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) ( , ) D g z g z f z f z g z f z g z f z g z D D C R D u x y v x y f z u x y iv x y    − = +

指数函数 ∫(=)=Exp(=)=e e(cos y+isn y)=e.e 性质e在z平面解析,且(e)=ei 见前例 性质2e1·e2=e+2, 由e2=e(+)+2)=已士·e(列) 可得 性质3e+2m (以2m为周期) 由性质2 27

z i z i z z i z i z z z x x i y y x x i y y z z z z z z z z z z z x x i y z e e e e i e e e e e e e e e e e e e e e z e e e y i y e e f z Exp z e =  = =  = = =  =  = = = + =  = = + +   +    − +      2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 ' 2 ( 2 3 2 , 1 ) (cos sin ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 由性质 以 为周期） 性质 可得 由 性质 见前例 性质 在 平面解析，且（ 指数函数