惠州学院：《近世代数 Abstract Algebra》课程教学课件（PPT讲稿）5.2 单扩域

S.单扩域假定 E是域 F的扩域，而 α是E的一个元.要讨论单扩域F(α)的结构，我们把E的元分成两类.定义α叫做域F上的一个代数元，假如存在F的不都等于零的元α，αi，..，an，使得ao+a,α +.+a,α"=0

§．单扩域 假定 是域 的扩域，而 是 的一个元． 要讨论单扩域 的结构，我们把 的元分成两 类． E F  E F( )  E 定义 叫做域 上的一个代数元，假如存在 的 不都等于零的元 ， ，.， ，使得  F F 0 a 1 a n a 1 0 1 a a + +  0 n n . + = a 

假如这样的α，α，...，an不存在，α就叫做F上的一个超越元.若α是F上的一个代数元，F(α)就叫做F的一个单代数扩域；若α是F上的一个超越元F(α)就叫做 F 的一个单超越扩域单扩域的结构通过以下定理可以掌握定理1、若α是F上的一个超越元，那么的商域F(α)= F[x]这里F[x]是F上的一个未定元x的多项式环若α是F上的一个代数元，那么F(α) = F[x]/(p(x)

假如这样的 ， ，.， 不存在， 就叫做 上的 一个超越元．若 是 上的一个代数元， 就叫做 的一个单代数扩域；若 是 上的一个超越元， 0 a 1 a n a  F  F F( )  F  F F( )  就叫做 F 的一个单超越扩域． 单扩域的结构通过以下定理可以掌握 定理１ 若 是 上的一个超越元，那么 的商域 这里 是 上的一个未定元 的多项式环． 若 是 上的一个代数元，那么  F F F x ( ) [ ]   F x[ ] F x  F F F x p x ( ) [ ] ( ( ))  

这里 p(x)是F[x的一个唯一的确定的、最高系数为 1 的不可约多项式，并且.p(α)=0证明F(α)包含 F 上的 α 的多项式环F[α]={一切Zaα，αF}我们知道,Eair-→Eaok是F上的未定元x的多项式环F[xl到F(α)的同态满射现在我们分两个情形来看

这里 是 的一个唯一的确定的、最高系数为１的不可 约多项式，并且． 证明 包含 上的 的多项式环 一切 ， 我们知道， p x( ) F x[ ] p( ) 0  = F( )  F  F[ ] {  = k k a  } k a F  k k k k   a x a →  是 上的未定元 的多项式环 到 的同态满射， 现在我们分两个情形来看． F x F x[ ] F( ) 

情形1：α是F上的超越元这时以上映射是同构映射：F(α)= F[x]由Ⅲ，1 0，定理4，F[α]的商域=F[x] 的商域由Ⅲ，10，定理3，我们可以知道，(1)F[α] 的商域cF(α)另一方面，F[α] 的商域包含 F 也包含 α，因此，由 F(α)的定义F(α)c F[α] 的商域(2)

情形１． 是 上的超越元． 这时以上映射是同构 映射： 由Ⅲ，１０，定理４， 的商域 的商域 由Ⅲ，１０，定理３，我们可以知道， （１） 的商域 另一方面， 的商域包含 也包含 ，因此，由 的定义 （２） 的商域  F F F x ( ) [ ]   F[ ]   F x[ ] F[ ]   F( )  F[ ]  F  F( )  F F ( ) [ ]   

由（1）和（2）得的商域F(α)= F[α] F(α) = F[x] 因而的商域情形2：α是F上的代数元．这时F[α] = F[x]/A这里A是上述同态满射的核．由IV，4，定理3和定理1，F[刘]是一个主理想环，所以A =(p(x)F[x]的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子

由（１）和（２）得 的商域 因而 的商域 F F ( ) [ ]   = F( )   F x[ ] 情形２． 是 上的代数元．这时 这里 是上述同态满射的核．由Ⅳ，４，定理３和定 理１， 是一个主理想环，所以 的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而 它们只能差一个单位因子，  F F F x [ ] [ ]   A A F x[ ] A = ( ( )) p x F x[ ]

而 F[xl的单位就是F的非零元．所以令 p(x）的最高系数是1，p(x)就是唯一确定的．由A 的定得：p(α)=0；由此得p(x)不是F 的非零元．但α 是 F 上的代数元，所以 p(x)也不是零多项式．因此，p(x)的次数≥1.我们说,p(x)是F[xl的一个不可约多项式．不然的话，将有p(x) =g(x)h(x), g(x)和 h(x) 的次数< p(x) 的次数从而得p(α) = g(α)h(α) =0但 g(α)和 h(α)是域 F(α)的元，而域没有零因子，所以由上式可以得到g(α)=0 或h(α)= 0

而 的单位就是 的非零元．所以令 的最高系数是 １， 就是唯一确定的．由 的定得： ；由此得 不是 的非零元．但 是 上的代数元，所以 也不 是零多项式．因此， 的次数≥１． F x[ ] F p x( ) p x( ) A p( ) 0  = p x( ) F  F p x( ) p x( ) 我们说， 是 的一个不可约多项式．不然的话，将有 ， 和 的次数＜ 的次数 p x( ) F x[ ] p x g x h x ( ) ( ) ( ) = g x( ) h x( ) p x( ) p g h ( ) ( ) ( ) 0    = = g( )  h( )  F( )  g( ) 0  = 或 h( ) 0  = 从而得 但 和 是域 的元，而域没有零因子，所以 由上式可以得到

这就是说，g(x)A 或 h(x)EA，即p(x) g(x)或 p(x) |h(x)这是一个矛盾。这样,p(x)是一个不可约多项式，因而(p(x)是F(x)的一个最大理想，而 F(x)/(p(x))是一个域．这样 F(α)是一个域．但 F(α）包含F也包含 α，并且 F[α]cF(α)，所以F(α)= F[α]= F[x]/(p(x))证完

这就是说 ， 或 ，即 这是一个矛盾． g x( )A h x( )A p x( ) g x( ) 或 p x( ) h x( ) 这样， 是一个不可约多项式，因而 是 的一个 最大理想，而 是一个域．这样 是一个 域．但 包含 也包含 ，并且 ， 所以 证完 p x( ) ( ( )) p x F x( ) F x p x ( ) ( ( )) F( )  F( )  F  F F [ ] ( )    F F F x p x ( ) [ ] [ ] ( ( ))   = 

以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域．当α是域 F上代数元的时候，我们还可以把F(α)描述得更清楚一点.定理2令 α是域F上的一个代数元，并且F(α)=F[xl/(p(x))那么F(α）的每一个元都可以唯一地表成Na,α (α, eF)的形式，这里n是p(x)的次数．要把这样的两个多项式f(α)和g(α）相加，只需把相当的系数相加;f(α)与g(α）的乘积等于r(α)，这里r(α)是用 p(x)除f(x)g(x) 所得的余式

以上定理把单扩域归结到我们已经知道的域．当 是 域 上代数元的时候，我们还可以把 描述得更 清楚一点．  F F( )  定理２ 令 是域 上的一个代数元，并且 那么 的每一个元都可以唯一地表成  F F F x p x ( ) [ ] ( ( ))   F( )  1 0 n j i i a − = ( ) i a F  的形式，这里 是 的次数．要把这样的两个多项式 和 相加，只需把相当的系数相加； 与 的乘积等 于 ，这里 是用 除 所得的余式． n p x( ) f ( )  g( )  f ( )  g( )  r( )  r( )  p x( ) f x g x ( ) ( )

证明月由于F(α)=F[αl ，所以 F(α)的一个任意元β 可以写成β= h(α)=b(α')(b,eF)的形式．但h(x) = q(x)p(x) + r(x)其中r(x)=Za,x(a, e F)=0因而，由于 p(α)=0，有β= h(α)=r(α)=Za,αli=0

证明 由于 ，所以 的一个任意元 可以 写成 的形式．但 其中 因而，由于 ，有 F F ( ) [ ]   = F( )   ( ) ( )i i    = = h b  ( ) i b F  h x q x p x r x ( ) ( ) ( ) ( ) = + 1 0 ( ) n j i i r x a x − = =  ( ) i a F  p( ) 0  = 1 0 ( ) ( ) n i i i     h r a − = = = = 

这种表示方法是唯一的．因为：假如 β=r(α)=r(α)r(x)，r(x) 和的次数< n 那么ri(α)-r(α) = k(α) = 0p(x) k(x)由于的次数<n，得k(x)= 0，r(x)=r(x)由以上证明可以看出，定理的后一部分成立．证完。我们已经看到，多项式p(x）对于一个单代数扩域的重要性．p(x）显然是理想A里的一个次数最低的多项式

这种表示方法是唯一的．因为：假如 ， 和的次数＜ 那么 由于的次数＜ ，得 ， 由以上证明可以看出，定理的后一部分成立．证完． 1 2    = = r r ( ) ( ) 1 r x( ) 2 r x( ) n 1 2 r r k ( ) ( ) ( ) 0    − = = p x k x ( ) ( ) n k x( ) 0 = 1 2 r x r x ( ) ( ) = ， 我们已经看到，多项式 对于一个单代数扩域的重 要性． 显然是理想 里的一个次数最低的多项 式． p x( ) p x( ) A